Estado fundamental de un sistema de mecánica cuántica

Al mirar hacia atrás en mis cursos de mecánica cuántica, noté que las suposiciones sobre el estado fundamental de un sistema de mecánica cuántica eran bastante vagas e imprecisas. Siempre se supone que existe un estado fundamental y que tiene una energía finita. Entonces mis preguntas son las siguientes:

  1. ¿Todo sistema mecánico cuántico debería tener un estado fundamental? ¿Y cómo podemos estar seguros de esto?

  2. ¿Debe este estado fundamental tener una energía finita?

  3. O es una energía de − ∞ también permitido?

En "Introducción a la mecánica cuántica" de DJ Griffiths se proporciona una clara prueba del estado fundamental para el sistema más simple (problema 2.2). Allí se muestra que si tienes un estado propio de energía ψ ( X ) (trabajando en el espacio de posición por simplicidad) con energía mi , entonces:

H ^ ψ ( X ) = mi ψ ( X ) ,
donde consideramos una partícula puntual simple no relativista, por lo que
H ^ = T ^ + V ^ .
Al aplicar esto sobre esto en la ecuación para el estado propio ψ ( X ) esto produce:
[ − ℏ 2 2 metro ∂ 2 ∂ X 2 + V ( X ) ] ψ ( X ) = mi ψ ( X ) ,
o (después de una simple reescritura) como:
∂ 2 ψ ( X ) ∂ X 2 = 2 metro ℏ 2 [ V ( X ) − mi ] ψ ( X ) .
En el caso de que tuviéramos una energía inferior al mínimo de V ( X ) (asumiendo que el potencial tiene un mínimo), la función de onda sería no normalizable ya que ψ ( X ) y ∂ X X ψ ( X ) que tendría el mismo signo. Esto se debe al hecho de que ψ ( X ) solo puede tener un mínimo si es positivo y un máximo si es negativo, lo que produce el carácter no normalizable.

  1. Entonces, esto todavía me deja con la pregunta de cómo saben con certeza los potenciales del tipo de Coulomb.

  2. y ¿cómo hacen esto en la teoría cuántica de campos (y, por extensión, en la física clásica)?

Sé que esta pregunta está en la misma línea de razonamiento que (¿ Por qué un sistema intenta minimizar la energía potencial? ) kindoff. Pero lo que estoy buscando no es "¿Por qué todo tiende a una energía mínima". Pero más "¿Por qué asumimos que existe un estado de energía tan mínimo?".

Respuestas (3)

Siempre se supone que el hamiltoniano de buenos sistemas físicos está acotado por abajo, es decir, hay un estado con la energía más baja, el estado fundamental. Debido a que siempre puede cambiar todas las energías (en QM no relativista), podría cambiar todas las energías por − ∞ en principio, aunque el espacio entre el estado fundamental y los estados excitados permanecería igual.

No tener un estado fundamental implicaría algún tipo de inestabilidad en el sistema. Por ejemplo, los bosones que no interactúan en el conjunto grancanónico a temperatura cero no forman un buen sistema con un potencial químico positivo: puede poner un número infinito de bosones en el estado de momento cero, lo que implica una densidad infinita y un energía infinita (negativa). Este no es un estado sólido de la materia.

Entonces, más del razonamiento de la física estadística, ¿dónde, por ejemplo, si T → 0, el sistema debería ir a algún tipo de estado estacionario? Porque si pienso en un sistema de Coulomb, el potencial puede ir a − ∞ , ¿no significa eso que la energía puede seguir disminuyendo de modo que el estado fundamental sería indefinido?
Ojo que mecánicamente cuántica, no es porque el potencial va (ingenuamente) a − ∞ que la energía del estado fundamental va a − ∞ . Así es exactamente como QM resuelve la estabilidad del átomo. La acotación del hamiltoniano no es la misma que la del potencial.
Entonces , ¿ clásicamente no deberíamos tener siempre un estado fundamental? Sí, de hecho, tuve que resolver el átomo de hidrógeno en mi segundo año y allí el electrón no chocó contra el protón debido a la mecánica cuántica. Pero me preguntaba cómo podemos estar seguros de este estado fundamental. Agregué una prueba en mi pregunta para sistemas simples. Pero todavía no estoy seguro de cómo podemos decir que es cierto en general. Por supuesto, un sistema sin un estado fundamental podría ser una tontería desde el punto de vista físico. Quizás me preguntaba más sobre las matemáticas. ¿Por qué no puedes cambiar tus energías en la mecánica cuántica relativista?
En la relatividad especial, la energía no es independiente, debes pensar en ella como parte de un cuadrivector, con el impulso. Así que no puedes simplemente cambiar la energía sin cambiar el impulso.
Bien, tonto de mí, ¡debería haberlo sabido! Sí, me parece sensato de alguna manera que debería existir un estado fundamental ya que según la segunda ley de la termodinámica el sistema iría a este estado de mínima energía. Entonces, si tuviéramos un sistema con un estado fundamental con energía pequeña infinita, podríamos extraer energía para siempre. Este tipo de sistema aún no se observa. Y sobre el sistema de bosones, ¿una condensación de Bose-Einstein no produce una ocupación macroscópica del estado fundamental?
@Nick: Para un BEC: sí, si trabaja en el conjunto canónico, de hecho encuentra una ocupación macroscópica del estado de energía más bajo, no hay problema con eso. En el conjunto gran canónico, hay un término − m norte ^ en el hamiltoniano, eso hace que el sistema sea inestable (para el gas ideal de Bose), ya que puede poner una cantidad infinita de partículas en el estado fundamental y obtener una energía negativa infinita.
pero no siempre necesita trabajar en el conjunto grancanónico y "elegir" su potencial químico m de tal manera que dé el número correcto de partículas?
@Nick: Bueno, no. Depende del sistema (físico). Tener norte No es lo mismo tener átomos en una caja cerrada que tener un número fluctuante de bosones debido a un reservorio de partículas. En el límite termodinámico (¡si está bien definido! y no es el caso aquí en el GCE), ambos darían la misma respuesta para el problema estándar, pero eso no es necesariamente cierto. Por ejemplo, la interacción de largo alcance hace que los diferentes conjuntos den respuestas diferentes (por ejemplo, sistemas gravitacionales).

Sé que se preguntó hace 2 años, pero quiero responder para ayudar a cualquiera que encuentre esto.

Hasta donde yo entiendo:

Asumamos mi = − ∞ No se permiten estados porque entonces todas las partículas probablemente querrían estar en este sistema si entran en contacto con él, ya que es el mínimo global y local de energía en todo el mundo . También podría obtener energía infinita de él, y sabemos que eso no está bien según la termodinámica. Por lo tanto, sería inestable y no físico.

Así que estamos asumiendo que la energía mínima que puede tener una partícula es mi > − ∞ , y como tal, debe haber un límite inferior a la energía. Si una partícula está ligada a este sistema, tiene estados cuantificados. Pero si hay un límite inferior a la energía que podemos tener, y las energías están cuantizadas, esto significa que tiene que haber uno o más estados (o ir hacia un continuo) con la energía más baja. mi = mi 0 > − ∞ . Así que aquí está su mínimo de energía.

Además, este problema se resuelve con la ecuación de Dirac que no permite energías negativas (si obtienes energías negativas, entonces en realidad tienes una antipartícula con energía positiva).

  • Se observa que el oscilador mecánico cuántico siempre tiene una energía de estado fundamental de *

h cruza omega por 2

* y es necesario que tengamos el concepto de

energía de punto cero

en el oscilador (cuántico) y si los sistemas cuánticos se vuelven grandes, entonces se ve como la aproximación clásica del oscilador.

incluso puede encontrar ejemplos en la teoría de dispersión que muestran la existencia de la energía del estado fundamental.

el concepto de la energía negativa en realidad es resuelto por el Dirac para la interpretación de los estados de energía negativa.

Si está familiarizado con el momento angular de qm, encontramos que el espín no está incluido y en las ecuaciones de Dirac el espín se obtiene fácilmente al derivar el espín de una partícula.

esta es la ventaja de la ecuación de Dirac, que es la ecuación lineal y la representación de Schrödinger es uno de los métodos más fáciles para comprender el estado físico del estado.

la ecuación de Dirac resuelve completamente el problema y es en qm relativista que se explican el espín y el significado físico de los estados de energía negativa. los pls estudian la mecánica cuántica relativista cuidadosamente. de hecho, Dirac resolvió con éxito para obtener la ecuación lineal para completar la forma completa de la mecánica cuántica.

Soy consciente del problema de Dirac, etc. Principalmente me pregunto por qué podemos suponer que tenemos un estado fundamental. Para el caso del oscilador armónico, la prueba se da arriba. Pero por ejemplo para otros sistemas esto no me queda tan claro :(.
Así que es más una especie de razonamiento/prueba de existencia lo que estoy buscando.
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