¿Qué significa el principio de exclusión de Pauli en términos de la ecuación de onda?

En química general te enseñan que el Principio de Exclusión de Pauli estipula que dos electrones no pueden tener los mismos cuatro números cuánticos. Sin embargo, sé que la definición real tiene algo que ver con las ecuaciones de onda de dos partículas que están "cerca" entre sí. ¿Alguien puede darme una definición más detallada del Principio de Exclusión de Pauli?

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Denotemos la función de onda de un sistema de dos electrones (por simplicidad) como: Ψ ( r → 1 , σ 1 ; r → 2 , σ 2 ) dónde r → significa coordenada de posición y σ representan las coordenadas de espín. Entonces, como los electrones son fermiones, la función de onda es antisimétrica (teorema de la estadística de espín). es decir, Ψ ( r → 2 , σ 2 ; r → 1 , σ 1 ) = − Ψ ( r → 1 , σ 1 ; r → 2 , σ 2 ) . Ahora, si asumimos la función de onda de la forma (campo medio o Hartree-Fock o sin interacción, una opción más simple que satisface la naturaleza antisimétrica, que está oculta en su pregunta) Ψ ( r → 1 , σ 1 ; r → 2 , σ 2 ) = 1 2 ! det ( ψ ( { q 1 } , r → 1 ) ψ ( { q 1 } , r → 2 ) ψ ( { q 2 } , r → 1 ) ψ ( { q 2 } , r → 2 ) ) . Resulta que { q 1 } = { q 2 } ⇒ Ψ ( r → 1 , σ 1 ; r → 2 , σ 2 ) = 0 (que no es una función de onda razonable para describir dos electrones). Aquí { q } representan números cuánticos que especifican los orbitales individuales de los electrones.

Esto tiene que ver con funciones de onda multipartículas.

Supongamos que tenemos dos partículas con estados ψ 1 ( r → 1 ) y ψ 2 ( r → 2 ) . Entonces las distribuciones de probabilidad son por supuesto PAG 1 ( r → 1 ) = | ψ 1 ( r → 1 ) | 2 y PAG 2 ( r → 2 ) = | ψ 2 ( r → 2 ) | 2 . Es tentador pensar que la función de onda para ambas partículas es simplemente

ϕ ( r → 1 , r → 2 ) = ψ 1 ( r → 1 ) ψ 2 ( r → 2 )
ya que entonces se obtiene que la probabilidad de encontrar cada partícula en una determinada posición es el producto de las probabilidades individuales. Pero hay un hecho fundamental: no puedes distinguir entre esas partículas y, como resultado, la probabilidad tampoco tiene que hacerlo. Por lo tanto, debemos exigir que
| ϕ ( r → 1 , r → 2 ) | 2 = | ϕ ( r → 2 , r → 1 ) | 2
Lo que significa que
ϕ ( r → 1 , r → 2 ) = mi i θ ϕ ( r → 2 , r → 1 )
A priori , θ puede ser una función de las coordenadas espaciales. Pero resulta que existe una conexión entre esta fase y el giro de las partículas en cuestión. Para las semipartículas de espín, o fermiones, esta fase es − 1 . Para partículas de espín entero, o bosones, esta fase es 1 . Esto se llama el teorema de la estadística de espín . En otras palabras, la función de onda de los fermiones es antisimétrica en el intercambio de partículas, mientras que la función de onda de los bosones es simétrica.

Consideremos ahora el caso de dos electrones. Los electrones son fermiones y, por lo tanto, su función de onda mutua debe ser antisimétrica.

ϕ ( r → 1 , r → 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( r → 1 ) ψ 2 ( r → 2 ) − ψ 1 ( r → 2 ) ψ 2 ( r → 1 ) )
En particular, si los números cuánticos de ambos electrones son iguales, entonces están en el mismo estado. ψ 1 = ψ 2 lo que lleva a
ϕ ( r → 1 , r → 2 ) = 0
así que no puede pasar.

Aviso: Omití la coordenada de giro de la derivación anterior para facilitar la escritura, pero tenga en cuenta que también debería estar allí. Alternativamente, puedes pensar que r → = ( X , y , z , s ) dónde s es el giro.

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