¿Pueden dos fermiones con diferentes niveles de energía estar en la misma posición?

No. Si calculas

(Este es un reemplazo de una respuesta incorrecta. "Hoy aprendí", como dice Internet).

Una forma de responder a esta pregunta es cambiar las variables. vamos a presentar

y tratar de encontrar una densidad de probabilidad en términos de$\Delta x$.

Dadas sus funciones de onda,

Si integramos esta distribución sobre todos los valores permitidos de$\Sigma x$, nos quedamos

¿Cuál es la distribución de probabilidad para encontrar sus dos partículas separadas por una distancia?$\Delta x$. Como$\Delta x$se vuelve pequeño, el término entre corchetes se vuelve proporcional a$(m^2+n^2)\Delta x^2$: es más probable que encuentre partículas altamente excitadas cerca unas de otras que partículas en los estados inferiores, pero la densidad de probabilidad de encontrar dos partículas con$x_1=x_2$desaparece

Aquí hay algunos resultados numéricos para un particular$m,n$(click para agrandar). La línea nula en la densidad de probabilidad conjunta en$x_1=x_2$(centrado horizontalmente) es bastante fácil de seleccionar. Los mínimos locales en la densidad de probabilidad en$|\Delta x|/L = 0.42, 0.84$en realidad no son ceros, aunque es difícil saberlo a partir de esta presentación particular del gráfico.

Esto no tiene nada que ver con la dinámica; es cierto sin ninguna mención de "niveles de energía" y se sigue puramente como consecuencia de los principios generales de cuantificación de sistemas fermiónicos.

El enunciado correcto para un observable continuo$x$es un poco técnico y no más esclarecedor (específicamente, la función de densidad de probabilidad conjunta$f(x_1,x_2)$va a$0$como$x_2 \rightarrow x_1$) así que, en su lugar, consideremos un espacio de dimensión de Hilbert de una sola partícula de dimensión finita$n$con un operador autoadjunto$\hat A$con un espectro no degenerado de valores propios$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$y vectores propios correspondientes$|\alpha_1 \rangle, \ldots, |\alpha_n \rangle$.

Si queremos describir un sistema con 2 fermiones idénticos que no interactúan de este tipo, tenemos$n(n-1)/2$vectores base que se pueden elegir como$|\beta_{ij}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|\alpha_i\rangle \otimes | \alpha_j \rangle - |\alpha_j\rangle \otimes | \alpha_i \rangle)$, dónde$1 \le i < j \le n$. Los fermiones solo pueden ocupar estos estados, no la totalidad$n^2$espacio del producto tensorial dimensional, porque los estados deben ser antisimétricos bajo intercambio de partículas. Sin embargo, un estado en el que ambas partículas se miden para tener$A = \alpha_i$sería necesariamente$|\alpha_i \rangle \otimes | \alpha_i \rangle$, y no existe tal estado como una combinación lineal de los$|\beta_{ij}\rangle$. Por supuesto, tal estado existe en el espacio del producto tensorial completo, pero es ortogonal al subespacio fermiónico porque es simétrico en lugar de antisimétrico bajo el intercambio de partículas.

Sin embargo, hay una manera de evitar esto. Si tu dejas$\hat A$tienen un espectro degenerado con$\alpha_i = \alpha_j$, entonces tienes 2 vectores distintos$|\alpha_i \rangle$y$|\alpha_j\rangle$con el mismo valor observado de$A$, y el estado antisimétrico$|\beta_{ij}\rangle$es un estado en el que mediríamos ambas partículas con$A = \alpha_i = \alpha_j$. Lo análogo en el caso continuo sería permitir números cuánticos adicionales, es decir que los estados$\{ |x\rangle \}$ya no son suficientes como base. Esto es de vital importancia, por ejemplo, si queremos tener fermiones con espín, pero la pregunta lo descarta específicamente, y sin eso es cierto que los dos fermiones siempre tendrán posiciones diferentes.