Parte temporal de la función de onda cuántica

En matemáticas, hay una simetría completa entre$+i$y$-i$. Tanto la unidad imaginaria como la unidad imaginaria menos obedecen

$$i^2 = (-i)^2 = -1$$ el intercambio de $i$y $-i$es conocido como el ${\mathbb Z}_2$grupo de automorfismos de los números complejos ${\mathbb C}$. Cuando introduces los números complejos por primera vez, es una convención completa llamar a una raíz cuadrada de $(-1)$como $+i$o $-i$.

Sin embargo, en física, tenemos que romper la simetría entre$+i$y$-i$porque debemos saber si una onda en una situación particular es$\exp(i\omega t)$o$\exp(-i\omega t)$, Por ejemplo. En particular,$xp-px=i\hbar$y no$-i\hbar$. Además, y la siguiente elección del signo en realidad no es independiente de la anterior en el conmutador, la ecuación de Schrödinger se eligió para ser

$$H |\psi \rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$$ dónde $H$es el hamiltoniano que puede ser reemplazado por $H=E$cuando se actúa sobre un estado propio de energía $|\psi\rangle$. Esta ecuación es totalmente universal en todas partes de la mecánica cuántica donde un hamiltoniano está bien definido (puede ser incluso la teoría cuántica de campos o algunas descripciones de la teoría de cuerdas).

La ecuación anterior, con$H=E$, se resuelve por

$$|\psi(t)\rangle = \exp(Et/i\hbar) |\psi(0)\rangle = \exp(-iEt/ \hbar) |\psi(0)\rangle = \exp(-i\omega t) |\psi(0)\rangle$$ Todas las formas son equivalentes porque $1/i = -i$– esta ecuación es equivalente a $i^2=-1$- y porqué $E=\hbar\omega$sin signo menos. Así que tu signo está mal; la señal que denunciaste es la correcta y la señal que querías es la incorrecta.

Solo para estar seguros, en la teoría cuántica de campos, trabajamos con varios objetos, campos cuánticos, que se expanden en términos que dependen del tiempo como$\exp(-i\omega t)$mientras que también debe haber términos que dependen del tiempo a través de$\exp(+i\omega t)$. Pero estos son términos en operadores, no la dependencia del tiempo de la función de onda. Hay que tener cuidado con las declaraciones y los objetos precisos. No he hecho ninguna declaración del tipo que sólo la expresión$\exp(-i\omega t)$y no$\exp(+i\omega t)$aparece en artículos y libros de teoría cuántica. Por supuesto, ambos pueden aparecer en alguna parte: en la teoría cuántica de campos, ambos tienen que aparecer porque hay operadores de creación y aniquilación, tanto partículas como antipartículas. Pero cuando preguntamos cómo una energía$E$la función de onda (y me refiero al vector ket) depende del tiempo, siempre es a través de$\exp(-iEt/\hbar)$. El vector sujetador tiene el signo opuesto (más) en el exponente.