¿Qué significa cuando se dice que el sistema tiene constantes de movimiento NNN?

Por ejemplo para un sistema aislado la energía mi se conserva Pero entonces cualquier función de la energía, (como mi 2 , pecado ⁡ mi , yo norte | mi | mi 42 etc) también se conserva. Por lo tanto, uno puede inventar infinitas cantidades conservadas simplemente usando la conservación de la energía.

¿Por qué, entonces, normalmente se puede oír hablar de "sistema que tiene norte constantes de movimiento"? "Sistema que tiene una sola constante de movimiento"?

Tengo que correr, así que solo un comentario rápido por ahora. Hay una noción implícita de independencia. Si puedes expresar una de las constantes como la función de otras, entonces es dependiente. Por ejemplo, cuando se trabaja en una variedad simpléctica, esto significa que los flujos (campos vectoriales que corresponden a las cantidades conservadas) abarcan una norte -espacio vectorial dimensional en cada punto. es decir, forman un norte -distribución plana .
aw, @Marek, ¿no podrías haber hecho esa respuesta rápida?
@David: no, porque no es una respuesta completa, así que no me parece bien. Por un lado, solo habla de mecánica clásica. También hay más que agregar sobre la mecánica cuántica (y la relación con observables mutuamente compatibles), etc. Intentaré dar una respuesta más completa más adelante.
La noción de (in)dependencia ya ha sido explicada por Marek anteriormente. Entonces, de todas las funciones f(E), solo debes elegir una. Solo agregaría que en los sistemas de muchos cuerpos generalmente requiere que la carga conservada sea aditiva (por el límite termodinámico). Esto selecciona E en sí mismo o su múltiplo.
@Marek: +1 por comentario; ¡Conviértalo en una respuesta real pronto!

Respuestas (3)

¿ Quizás vale la pena distinguir las integrales de movimiento independientes de las funciones de integrales de movimiento? Vea las ecuaciones (2) y (3) en mi publicación . El número de constantes de movimiento independientes está limitado por el número de datos iniciales independientes (si el problema está bien planteado).

EDITAR: otra forma de entenderlo es contar los grados de libertad independientes del sistema.

Supongamos (por simplicidad en esta pregunta) que el hamiltoniano H es independiente del tiempo. Entonces cualquier función f cuyo corchete de Poisson con H {f, H}=0 es una constante de movimiento. También el teorema de Poisson es que si f,g son ambas constantes de movimiento, entonces {f,g} también genera más constantes de movimiento.

La aclaración es que las funciones f, g aquí definen cambios canónicos de variable, por lo que solo nos interesan las que reemplazan a la pag i y q i con nuevas coordenadas ( PAG i , q i ) . Solo habrá como máximo 2N de estos.

El arreglo ideal es hacer que muchos de los q i es posible abandonar el hamiltoniano (transformado) H = H ( PAG i , q i ) , existiendo únicamente N máximo disponible. Entonces, sí, muchas "constantes de movimiento" serán funciones entre sí (similar a tener no solo x(q),y(p) disponible como coordenadas, sino también x+y, X 2 , etc), pero uno quiere usar solo aquellos que conducen a un hamiltoniano más simple.

Hay siete constantes aditivas fundamentales del movimiento en la mecánica clásica, estas son la energía y las tres componentes del momento y el momento angular. En otras palabras, cada constante del movimiento, C , se puede escribir de forma única como:

C = a 1 mi + a 2 PAG X + a 3 PAG y + a 4 PAG z + a 5 L X + a 5 L y + a 7 L z

Una prueba de este hecho se puede encontrar en Landau, Vol 1.

¿Qué significa cuando se dice que el sistema tiene constantes de movimiento NNN?
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