¿Por qué solo hay 3 integrales aditivas de movimiento?

OK, según su solicitud... Mi sensación es que desea aprender todo sobre la integrabilidad desde aquí y combinar problemas que los confunden, en lugar de separarlos... ¿Qué tal si complementas L&L con el libro de Arnold ?

1. Las siete integrales aditivas de L&L son las leyes de conservación aditivas del sistema de centro de masa aislado, y los teoremas estándar de conservación del centro de masa dictan que se fijan en ausencia de fuerzas y pares externos, y por lo tanto, entradas/salidas de trabajo, por la acción de Newton. -leyes de reacción: se suman todas las energías, o momentos, o momentos angulares, y sus sumas, dado que el sistema está “cerrado” se conservan (¡igual que en un agujero negro!). Pero... no necesitan ser independientes, como, por ejemplo, para una partícula libre en la caja,$E\propto \vec{P}^2$, es decir, & no es un límite inferior absoluto en el número de integrales conservadas. (y para una partícula libre, J siendo 0/sin sentido, reduce las integrales conservadas independientes a 3). Para comparar con 2., usaré el sistema aislado mucho más simple de 2 partículas en 2d, por lo que el grupo de rotación es unidimensional , y las integrales aditivas conservadas, en lugar de 7 ahora son solo 4: E ,$\vec{P}$, y J .

2. Esta es una declaración abstracta amplia para un límite superior al número de integrales independientes del movimiento del espacio de fase, no necesariamente aditivo. En un espacio de fase de 2 s dimensiones, cada integral conservada independiente especifica una hipersuperficie independiente en la que se encuentran las trayectorias, y especifica el punto del espacio de fase que debe transcurrir en su intersección. El caso más restrictivo es 2 s - 1 hipersuperficies, cuya intersección común es una línea, la trayectoria de un punto del espacio fase (multidimensional); una restricción más y la línea se cruza con un punto, ¡así que el punto no se mueve en el tiempo! Los sistemas con este número máximo de restricciones se denominan máximamente superintegrables, como el problema de Kepler ., o la mayoría de los problemas de física para bebés de primer año. Dejando de lado la exageración, todos estos problemas se describen de manera mucho más simétrica en la imagen mecánica equivalente de Nambu : la parte clásica expresa parte de ello en lenguaje PB. Para invariantes en involución, vea esto .

   • Entonces, ahora, considere dos partículas conectadas por un resorte, en 2d , comenzando con el límite k = 0, por lo tanto, partículas libres.

     $$L=\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+ \dot{y}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2= \frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2.$$ para las capitales siendo el centro de coordenadas de masa,$r=\sqrt{x^2+y^2}$, y θ el ángulo entre las coordenadas relativas. Ahora las ecuaciones de movimiento para θ ya están integradas a constante$r^2\dot{\theta}\equiv J$, por lo que podemos eliminar su término cinético a favor de un término$mJ^2/(2r^2)$reubicado en la parte potencial del lagrangiano.

   • Contemos las cantidades totales conservadas, primero para k = 0, el caso libre: en coordenadas cartesianas, tenemos 2 componentes de cantidad de movimiento para 2 partículas, por lo que 4 en total; más J y cada una de las dos energías E y ε para las variables mayúsculas y minúsculas? No del todo, ya que E no es independiente de los momentos cm, y ε de los internos. Las integrales independientes parecen ser 5. Sin embargo, las externas, aditivas, son E + ε , J , y$\vec{P}$, por lo que menos que los independientes. Activar la interacción (resorte, k que no desaparece ) destruye la conservación de los dos componentes del momento interno, pero$\epsilon_x$,$\epsilon_y$y J aún se conservan (2 × 2-1 para x, y , los osciladores son superintegrables al máximo) y las integrales independientes en general son 5, una vez más, anticipándose a su paradoja.

   • Finalmente, una palabra sobre su pregunta del teorema de Poisson. Siendo totalmente esquemático y arrogante acerca de los factores, puede ver que, dadas las invariantes$\epsilon_x, \epsilon_y, J$de este doble oscilador,$\{ \epsilon_x, J\} \sim K\equiv p_x p_y +xy$, también fácil de confirmar que es independiente del tiempo, según la identidad de Jacobi. ¿Hay una cuarta invariante? No puede ser: vimos arriba, la superintegrabilidad máxima solo permite 3. Pero tenga en cuenta, fijando signos, factores, etc., que$\epsilon_x \epsilon_y=J^2+K^2$, por lo que uno de los cuatro depende de los otros tres, de forma no lineal. ¡Uf!....

No hay ninguna contradicción en absoluto y sus preguntas pueden ser respondidas de inmediato.

Un sistema aislado con$s$grados de libertad tiene$2s-1$integrales de movimiento ya que las soluciones para las coordenadas$q_i$involucrar$2s-1$constantes (determinadas por las condiciones iniciales). los$2s$se puede resolver en términos de$t-t_0$dónde$t_0$puede elegirse arbitrariamente. Sin embargo, no todas estas integrales de movimiento son aditivas. Por integral aditiva de movimiento se entiende aquella que es la suma de las correspondientes integrales de movimiento de los subsistemas aislados.

Estas integrales aditivas de movimiento, normalmente llamadas cantidades conservadas, son las que se originan a partir de alguna simetría continua del sistema y se pueden calcular mediante el Teorema de Noether. Sin embargo, a menos que me perdí alguna sutileza, hay 10 cantidades conservadas: energía E (asociada a la traducción del tiempo), impulso$\vec P$(asociado a la traslación de tres espacios), momento angular$\vec L$(asociado a tres rotaciones) y el vector$t\vec P-M\vec R_{cm}$(asociado a tres impulsos de Galileo). Puede leer más en la sección tres de esta referencia .