¿Es esta redefinición de campo para la teoría de campo escalar libre no local?

Question

¿Es esta redefinición de campo para la teoría de campo escalar libre no local?

Física
localidad
no localidad
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano

Howard

La acción de la teoría del campo escalar libre es la siguiente:

S = \int d^{4} X \frac{{\dot{ϕ}}^{2}}{2} - \frac{ϕ ({metro}^{2} - \nabla^{2}) ϕ}{2} .

$S=\int d^4 x \frac{\dot{\phi}^2}{2}-\frac{\phi(m^2-\nabla^2)\phi}{2}.$

He estado pensando en redefinir el campo como

ϕ^{'} (X) = \sqrt{{metro}^{2} - \nabla^{2}} ϕ (X),

$\phi'(x)=\sqrt{m^2-\nabla^2}\phi(x),$ donde asumo que puedo separar el operador

(m^{2} - \nabla^{2})

$(m^2-\nabla^2)$ como

\sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}}

$\sqrt{m^2-\nabla^2}\sqrt{m^2-\nabla^2}$ e integre uno de ellos por parte (por expansión infinita del operador raíz cuadrada de Helmholtz). El hamiltoniano se convierte en

H = \int d^{3} X \frac{π^{'} ({metro}^{2} - \nabla^{2}) π^{'}}{2} + \frac{ϕ^{' 2}}{2} .

$H=\int d^3x\frac{\pi'(m^2-\nabla^2)\pi'}{2}+\frac{\phi'^2}{2}.$

Uno puede verificar que la ecuación de movimiento y las soluciones sean consistentes con la teoría original de campo libre (como debería ser), las cosas que me preocupan son:

¿Es justo hacer la expansión infinita + integración por partes?
Dado que hay series infinitas en la redefinición del campo, ¿es no local? De acuerdo con la función de onda en la mecánica cuántica y la localidad y ¿Por qué los lagrangianos de orden superior se denominan 'no locales'? , parece ser no local. Sin embargo, dado que no hay derivadas temporales en la raíz cuadrada, los datos iniciales en cada punto del espacio deben ser dos, lo que corresponde a un grado de libertad en cada punto. Si la expansión infinita es válida, se puede conocer la configuración del campo $\phi'(x)$ si sabemos $\phi(x)$ , no me queda claro si necesitamos todos esos datos iniciales para la serie infinita de derivadas.

El ejemplo simple anterior puede ser demasiado trivial, la pregunta que estoy investigando es si la siguiente acción es estable o no,

H = \int d^{3} X \frac{1}{4} π \frac{1}{(1 + 2 β \nabla^{2})} π - ϕ (β \nabla^{2} \nabla^{2} + \nabla^{2}) ϕ,

$H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi \frac{1}{(1+2\beta \nabla^2)}\pi-\phi(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)\phi,$ donde

β

$\beta$ es una constante Estaba pensando en usar la redefinición de campo no local

π^{'} := \frac{1}{\sqrt{1 + 2 β \nabla^{2}}} π, ϕ^{'} := \sqrt{1 + 2 β \nabla^{2}} ϕ,

$\pi':=\frac{1}{\sqrt{1+2\beta\nabla^2}}\pi,\qquad \phi':=\sqrt{1+2\beta\nabla^2}\phi,$ reescribir el hamiltoniano como

H = \int d^{3} X \frac{1}{4} π^{' 2} - ϕ \frac{(β \nabla^{2} \nabla^{2} + \nabla^{2})}{1 + 2 β \nabla^{2}} ϕ,

$H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi'^2 -\phi\frac{(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)}{1+2\beta\nabla^2}\phi,$ que está garantizado que no es fantasma. Estoy de acuerdo en que el hamiltoniano con el que empiezo es bastante inusual, pero es un hamiltoniano reducido de una teoría de la derivada superior restringida.

No es obvio ver cómo analizar esto mediante la transformación canónica habitual, ¿hay alguna buena manera de analizar esto o alguien podría decirme qué saldrá mal con este tipo de redefinición de campo?

Diego Mazón

+1 En mi opinión, también deberías escribir los términos de interacción.

Respuestas (1)

¿Es esta redefinición de campo para la teoría de campo escalar libre no local?

+1 En mi opinión, también deberías escribir los términos de interacción.

qmecanico · Answer 1

Formulación Lagrangiana. La densidad lagrangiana para un escalar libre masivo en el $(+,-,-,-)$ la convención es
$\begin{matrix} (1) & L = \frac{1}{2} d_{m} ϕ d^{m} ϕ - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} . \end{matrix}$ ${\cal L}~=~\frac{1}{2}d_{\mu}\phi ~d^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2.\tag{1}$ La ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es la ecuación masiva de Klein-Gordon $\begin{matrix} (2) & (d_{m} d^{m} + {metro}^{2}) ϕ = 0. \end{matrix}$ $(d_{\mu}d^{\mu}+m^2)\phi~=~0. \tag{2}$ el impulso es $\begin{matrix} (3) & π := \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = \dot{ϕ} . \end{matrix}$ $\pi ~:=~ \frac{\partial \cal L}{\partial\dot{\phi}}~=~\dot{\phi}.\tag{3}$
Formulación hamiltoniana. La densidad hamiltoniana es
$\begin{matrix} (4) & H = \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~\frac{1}{2}\pi^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2. \tag{4}$ Las ecuaciones hamiltonianas de movimiento son $\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \dot{π} = & (\nabla^{2} - {metro}^{2}) ϕ, \\ \dot{ϕ} = & π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \dot{\pi}~=~&({\bf \nabla}^2-m^2)\phi, \cr \dot{\phi}~=~&\pi.\end{align}\tag{5}$ Tenga en cuenta que ambos $\phi$ y $\pi$ satisfacer la ecuación masiva de Klein-Gordon (2).
Transformación canónica.
$\begin{matrix} (6) & \tilde{ϕ} := π, \tilde{π} := - ϕ . \end{matrix}$ $\widetilde{\phi}~:=~ \pi, \qquad \widetilde{\pi}~:=~ -\phi. \tag{6}$ La nueva densidad hamiltoniana es precisamente la densidad hamiltoniana de OP $\begin{matrix} (7) & H = \frac{1}{2} {\tilde{ϕ}}^{2} + \frac{1}{2} (\nabla \tilde{π})^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} {\tilde{π}}^{2} . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~\frac{1}{2}\widetilde{\phi}^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\widetilde{\pi})^2+\frac{1}{2}m^2\widetilde{\pi}^2.\tag{7}$ Tenga en cuenta que ambos $\widetilde{\phi}$ y $\widetilde{\pi}$ satisfacer la ecuación masiva de Klein-Gordon (2). Entonces, la nueva densidad hamiltoniana (7) se puede reproducir sin ninguna redefinición de campo no local.
Ahora volvamos a las preguntas de OP (v3): Sí,
$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \tilde{ϕ} := & \sqrt{{metro}^{2} - \nabla^{2}} ϕ, \\ \sqrt{{metro}^{2} - \nabla^{2}} := & metro \sum_{norte = 0}^{\infty} (\begin{matrix} 1 / 2 \\ norte \end{matrix}) {(- \frac{\nabla^{2}}{{metro}^{2}})}^{norte}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&\sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}\phi, \cr \sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}~:=~&m\sum_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix}1/2 \\ n \end{pmatrix} \left(-\frac{{\bf \nabla}^2}{m^2} \right)^n,\end{align} \tag{8}$ es una redefinición de campo espacialmente no local (pero temporalmente local).

Dado que la redefinición del campo (8) no contiene derivadas temporales, los datos de Cauchy aún equivalen a especificar $\widetilde{\phi}$ y su derivada temporal sobre una superficie de Cauchy. No hay necesidad de derivadas temporales más altas.

Y sí, la redefinición del campo (8) conduce formalmente a la densidad hamiltoniana (7). Sin embargo, como se menciona en la sección 3, ya una transformación canónica local (6) podría lograr la misma formulación. La redefinición de campo no local de OP (8) corresponde a una transformación canónica no local
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{ϕ} := & ({metro}^{2} - \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} ϕ, \\ \tilde{π} := & ({metro}^{2} - \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&(m^2-{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\cr \widetilde{\pi}~:=~&(m^2-{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.\end{align}\tag{9}$
OP pregunta en un comentario si este tipo de redefinición de campo no local (8) está permitida en la teoría cuántica de campo en general. Depende de quién sea el árbitro. Un matemático probablemente se enfocaría en si la derivación/prueba detallada tiene sentido, mientras que un físico probablemente estaría contento si el resultado/objetivo final tiene sentido.
OP considera en una actualización (v5) la densidad hamiltoniana manifiestamente positiva (pero no renormalizable)
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} H_{β} = & \frac{1}{2} {((1 + 2 β \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π)}^{2} \\ + \frac{1}{2} {((1 + β \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} \nabla ϕ)}^{2} \\ = & \frac{1}{2} {\tilde{π}}^{2} + \frac{1}{2} {(\sqrt{\frac{1 + β \nabla^{2}}{1 + 2 β \nabla^{2}}} \nabla \tilde{ϕ})}^{2} \\ \geq & 0, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\cal H}_{\beta} ~=~&\frac{1}{2}\left((1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi\right)^2\cr &+\frac{1}{2}\left((1+\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}{\bf \nabla}\phi\right)^2\cr ~=~&\frac{1}{2}\widetilde{\pi}^2 +\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1+\beta{\bf \nabla}^2}{1+2\beta{\bf \nabla}^2}}{\bf \nabla}\widetilde{\phi}\right)^2\cr~\geq~&0, \end{align}\tag{10}$ con transformación canónica no local $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \tilde{ϕ} := & (1 + 2 β \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} ϕ, \\ \tilde{π} := & (1 + 2 β \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\cr \widetilde{\pi}~:=~&(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.\end{align}\tag{11}$

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Howard

Diego Mazón

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qmecanico

Si :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : no es local en el espacio, ¿eso significa que la teoría cuántica de campos interactivos no es local?

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