Si :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : no es local en el espacio, ¿eso significa que la teoría cuántica de campos interactivos no es local?

No, no significa que la teoría cuántica de campos no sea local. El hecho de que existan operadores que exactamente (anti)conmuten a una separación similar al espacio sigue siendo exactamente válido en el nivel de interacción.

Su argumento se basa en una suposición errónea. No es cierto que el término de interacción de orden superior deba tener un orden normal en el hamiltoniano. El hamiltoniano de interacción correcto debe escribirse "tal como es", sin el orden normal.

La derivación de las reglas de Feynman para amplitudes de dispersión en el lenguaje del operador y la imagen de interacción requiere que calculemos los elementos de la matriz de$S$en el estado inicial y final. La matriz$S$es la exponencial ordenada en el tiempo:

$$S \approx T \left[i \exp\int dt\,H_I \right]$$ Lo siento si debe haber $-i$delante de $H_I$. No hay un orden normal en esta fórmula, por lo que no hay no localidad del término de interacción; en cambio, hay un ordenamiento temporal de todo.

A través del teorema de Wick, esta exponencial ordenada en el tiempo, cuando se expande a través de la expansión de Taylor, se puede escribir a través de las contracciones

$$C(x_1,x_2) = \langle 0 | T (\phi_1 \phi_2) | 0\rangle = i\Delta_F(x_1-x_2)$$ que es el propagador estándar de Feynman, asociado con $i/(k^2-m^2+i\epsilon)$en el espacio de momento. Pero la contracción es la diferencia del producto ordenado en el tiempo (pero no en el orden normal) de dos operadores, que siempre aparecen en la definición de la matriz S, y el producto ordenado en el tiempo (pero ya no ordenado en el tiempo), que es fácil de tratar al evaluar los elementos de la matriz.

De hecho, creo que si agregara una interacción hamiltoniana de orden superior con el orden extra normal, obtendría una teoría no local, pero no es así como se definen los QFT.

Es posible que no esté satisfecho con el hecho de que, sin el orden normal, la interacción hamiltoniana conducirá a elementos de matriz infinitos, etc. De hecho, lo hará. Pero hay muchos otros infinitos de un tipo similar y todos ellos tienen que ser tratados por el proceso de renormalización.

La idea de que la interacción hamiltoniana debe tener un orden normal es probablemente un artefacto defectuoso de la intuición para deshacerse de los infinitos "lo antes posible". Para las teorías de campos cuánticos libres, se pueden definir prescripciones finitas, sin renormalización, para cantidades como la energía total y la carga total, y el orden normal es útil para hacerlo fácilmente.

Pero este tratamiento de las teorías de campos cuánticos libres no es útil para deshacerse de muchos otros infinitos que aparecen una vez que se incluyen las interacciones. Para tratar con ellos, uno necesita renormalización. La ordenación normal de la interacción hamiltoniana no solo es inútil para deshacerse de los infinitos: sería perjudicial porque, como observaste correctamente, produciría no localidades. (A menos que la teoría sea equivalente a una teoría de campo local mediante una redefinición de campo, y no veo una forma obvia de cómo podría suceder).

Por lo que puedo ver, este error trivial (hacer que la interacción hamiltoniana sea de orden normal) aparece en algunos tratamientos de la teoría cuántica de campos en el marco de la teoría cuántica de campos "axiomática" o "algebraica", razón por la cual esos enfoques, al menos en algunas de sus versiones, son completamente incompatibles tanto con la renormalización como con la localidad.

Estoy de acuerdo con parte de la respuesta de Motl de que en el tratamiento ordinario de QFT, es realmente el polinomio desordenado$V(\phi)$eso se suma al hamiltoniano libre.

Pero si sirve de algo, creo que el polinomio de orden normal$N(V(\phi))$en realidad es local. Por supuesto, tiene razón al preocuparse a priori de que no lo sea, porque las sumas generales de los productos de los operadores de escalera realmente no son locales.

Aquí está mi argumento$N(V(\phi))$es local; Corrígeme si estoy equivocado. Tratemos el caso$V(\phi)=\phi^n$incluso para$n$. Argumentaremos por inducción incluso$n$. Es decir, supongamos que hemos probado$N(\phi^m)$es local para todos incluso$m<n$. Por el teorema de Wick, digamos la versión expresada aquí en Wikipedia , tenemos

$$\phi^n = N(\phi^n) + \; const. \langle \phi^2 \rangle N(\phi^{n-2}) + \; const. \langle \phi^2 \rangle \langle \phi^2 \rangle N(\phi^{n-4}) \, + ... .$$ El LHS es local, y todos los términos después del primero en el RHS son locales por la hipótesis inductiva, por lo que$N(\phi^n)$debe ser local.

Además, si observa lo anterior, puede concluir

$$N(\phi^n) = \phi^n + A_{n-2} \phi^{n-2} + A_{n-4} \phi^{n-4} + … + A_0$$ para algunas constantes$A_{n-2},...,A_0.$Así que también está claro de esta expresión que$N(\phi^n)$es local

El argumento a favor de las potencias impares es similar.