¿Por qué los generadores de rotación en el espacio euclidiano de 4 dimensiones corresponden a rotaciones en un plano?

¿Significa que una rotación dada en el espacio euclidiano de 4 dimensiones no puede asociarse con un eje único ($\hat{\textbf{n}}$) de rotación? En caso afirmativo, ¿por qué es ese el caso?

Sí, esto es absolutamente cierto. La noción de un eje unidimensional es un "accidente" de tres dimensiones. Las rotaciones transforman subespacios lineales planos (dimensión 2) del espacio euclidiano, por lo que es necesario especificar el plano transformado y el ángulo de rotación para especificar la rotación.

En las dimensiones 3D podemos hacer un poco de trampa: un plano se define únicamente por un vector unitario normal, y el ángulo de rotación se puede codificar como la longitud de este vector. Esto es lo que queremos decir con un eje. El eje es el espacio no transformado de la rotación; el espacio 3D se divide en dos espacios ortogonales invariantes, siendo el primero el plano de rotación, que es invariante pero transformado ( es decir , no trivialmente biyectivamente mapeado a sí mismo) y el segundo el eje, que es tanto invariante como no transformado. En 4 y mayores dimensiones, los espacios invariantes son de 2 o mayores dimensiones.

Un miembro del álgebra de Lie de un grupo de rotación (con el álgebra escrita como una representación matricial fiel) es una matriz asimétrica, es decir , una entidad de la forma$\sum\limits_i X_i \wedge Y_i$donde el$X_i$y$Y_i$son vectores 1D en el espacio euclidiano. Una matriz de rotación general es entonces de la forma$\exp\left(\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\right)$. Las cosas se complican un poco en 4 y más dimensiones; lo más general que se puede decir es que una transformación ortogonal propia general en$N$el espacio dimensional se puede descomponer como$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$donde cada uno de los$R_i$es una rotación que transforma biyectivamente un plano en sí mismo y deja invariante el complemento del plano. Sin embargo, los planos para cada uno de los$R_i$no son en general el mismo plano.

Otras preguntas y propiedades de rotación útiles

El usuario John Dvorak señala:

pensaría que$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$siempre sería ortogonal por pares. No es ese el caso?

De hecho, esto es absolutamente cierto y vale la pena esbozar la prueba para obtener más información sobre una rotación dimensional superior.

Sea nuestra matriz de rotación$R=\exp(H)$con$H=\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\in \mathfrak{so}(N)$como anteriormente. Entonces existe otra transformación ortogonal$\tilde{R}$( es decir $\tilde{R}\in \mathrm{SO}(N)$) que, a través de la transformación de similitud, reduce el sesgo simétrico$H\in \mathfrak{so}(N)$para bloquear la forma diagonal:

donde cada uno de los bloques es de la forma:

con$\theta_j\in\mathbb{R}$siendo un ángulo de rotación y que, si$N$es raro, también hay un$1\times1$sobra bloque cero.

Por lo tanto, si ponemos:

después$R_j=\exp(H_j)$con$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$luego se ven fácilmente para compensar la descomposición con las propiedades que John afirma, a saber:

1. los$R_j$son rotaciones, cada una de las cuales transforma un solo plano y cada una también tiene una dimensión$N-2$espacio invariante y no transformado (el análogo del "eje");
2. Los planos transformados por el$R_j$son mutuamente ortogonales y, de hecho, los planos están atravesados ​​por los vectores unitarios$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j}$y$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j+1}$, donde el$\hat{e}_j$son la base ortonormal en la que todos los operadores discutidos tienen matrices como se escribe arriba;
3. (como consecuencia de 2.) el$R_j$se desplazan mutuamente.

Así podemos ver fácilmente que:

1. Si la dimensión$N$es impar, siempre hay un espacio invariante de dimensión 1, no transformado, correspondiente al bloque cero 1D citado anteriormente, además de los espacios invariantes descritos a continuación;
2. Si la dimensión es par, el espacio no transformado de una transformación ortogonal propia no trivial puede ser cualquiera de las dimensiones$0,\,2,\,4,\,\cdots N-2$. Los espacios invariantes son de dimensiones$0,\,2,\,4,\,\cdots,\,N$

Esta descomposición se trata de un operador de rotación en particular y no debe confundirse con la noción de coordenadas canónicas de segundo tipo (ver Capítulo 1, Proposición 3.3 de VV Gorbatsevich, EB Vinberg, "Lie Groups and Lie Algebras I: Foundations of Lie Theory and Lie Transformation Groups", Springer, 2013), que son una noción generalizada de los ángulos de Euler . Aquí, un conjunto de$H_j\in\mathfrak{so}(N)$por$j=1,\,\cdots,\,N$(nota, ahora hay$N$de ellos, no$N\,\mathrm{div}\,2$de ellos) se elige como base, es decir , para abarcar$\mathfrak{so}(N)$. Los siguientes son ciertos:

1. El conjunto$\mathbf{G}=\left\{\left.\prod\limits_{j=1}^N\,\exp(\theta_j\,H_j)\,\right|\,\theta_j\in\mathbb{R}\right\}$contiene un vecindario de la identidad en$\mathrm{SO}(N)$;
2. Si, además, el$H_j$son ortogonales con respecto a la forma Killing$\langle X,\,Y\rangle=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(X)\,\mathrm{ad}(Y))$, entonces el conjunto$\mathbf{G}$arriba está todo$\mathrm{SO}(N)$.

La propiedad 1, como se muestra en la referencia de Gorbatsevich & Vinberg citada anteriormente, es una propiedad general y fundamental de todos los grupos de Lie (si reemplazamos$\mathfrak{so}(N)$por el álgebra de Lie del grupo y$\mathrm{SO}(N)$por el grupo); la propiedad 2 se cumple solo para los semisimples compactos.

Si la transformación de similitud que he sacado aquí de la nada parece misteriosa, los lectores pueden estar más familiarizados con la versión reordenada de la transformación de similitud.$\tilde{R}$arriba donde descomponemos un 2-forma cerrada simétrica sesgada$\omega$en un caso de dimensión par para que su matriz$\Omega$es:

lo cual hacemos implícitamente cada vez que etiquetamos un espacio simpléctico con (en general, no únicas) "coordenadas canónicas" de modo que$\omega$entonces tiene la matriz:

Aquí tenemos un uso diferente de la palabra "canónico", esta vez como se usa en la mecánica hamiltoniana. ¡La palabra "canónica" realmente necesita una jubilación bien pensionada como ha trabajado tan duro en Física!

Es simplemente porque 3-2 = 1 pero 4 - 2 = 2. Una rotación consiste en el intercambio de dos ejes. Como involucra dos dimensiones, ocurre en un plano, y sobran n-2 dimensiones. En un espacio unidimensional, no hay suficientes dimensiones para hacer una rotación (a menos que considere invertir el espacio en una rotación). En el espacio bidimensional, todas las dimensiones están involucradas en una rotación (aunque el origen es un punto fijo). En el espacio tridimensional, sobra una dimensión, y esta dimensión se puede tratar como un eje, y podemos representar rotaciones en el espacio tridimensional con vectores tridimensionales. Si bien el signo es arbitrario (la regla de la mano derecha es una convención, no una propiedad inherente del espacio tridimensional), la línea a lo largo de la cual se encuentra el vector no lo es. En el espacio de cuatro dimensiones, sobran dos dimensiones, por lo que los puntos fijos de una rotación son un plano, y elegir una dirección para representar la rotación sería arbitrario. (Podríamos representar una rotación entre índices i,i+1 con un vector en la dirección i+2, pero eso requeriría un orden arbitrario de dimensiones. También tenga en cuenta que si tenemos una rotación entre índices no consecutivos, como 1 y 3 , que puede estar compuesto por rotación entre índices consecutivos, en este caso 1,2 y 2,3.)