Representaciones de dimensión infinita de SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

En la teoría del momento angular, deseamos estudiar las representaciones proyectivas del grupo de rotación ENTONCES ( 3 ) , para lo cual recurrimos a la teoría de la representación de la doble cubierta SU ( 2 ) . Entiendo la teoría de representación de dimensión finita del álgebra de Lie s tu ( 2 ) donde encontramos pesos enteros o semienteros dependiendo de la dimensión de la representación. Sin embargo, no he podido encontrar un tratamiento satisfactorio del caso de dimensión infinita. Dejar H = L 2 ( R 3 ) . Es bien sabido que los valores propios de los operadores de momento angular en este espacio de Hilbert serán múltiplos enteros de ℏ , no medios enteros. ¿Cómo podemos ver esto usando la teoría de la representación?

Editar: encontré una respuesta con la ayuda de los comentaristas (¡gracias!). L 2 ( R 3 ) se descompone como una suma directa ortogonal de espacios vectoriales V yo , cada uno de los cuales es invariante bajo la acción del grupo de rotación y, por lo tanto, irreducible bajo esta acción. Además, se puede demostrar que cada uno de estos espacios vectoriales V yo tiene dimensión 2 yo + 1 , dónde yo es un número entero. Por lo tanto, cada uno de estos espacios es impar. Por lo tanto, la representación proyectiva de ENTONCES ( 3 ) en cada V yo tendrá valores propios enteros. Ver Hall - Teoría cuántica para matemáticos para la prueba.

S O ( 3 ) es compacto, por lo que todas las representaciones unitarias son equivalentes a las de dimensión finita ... ¿o está pensando en algún límite de representación grande o irrepeticiones no unitarias?
@ZeroTheHero ¿Qué quiere decir con que todas las representaciones unitarias son equivalentes a las de dimensión finita? Si el espacio de Hilbert que quiero representar SU ( 2 ) on es de dimensión infinita, ¿cómo puedo realizar esto como una representación de dimensión finita?
Descomponga el espacio de Hilbert en irreps de dimensión finita. Ver en.wikipedia.org/wiki/…
@ZeroTheHero esto no explica por qué solo vemos valores propios enteros. Parece que en el caso de dimensión infinita solo estamos viendo representaciones ordinarias de ENTONCES ( 3 ) en lugar de los proyectivos, pero no entiendo por qué.
No estoy seguro de seguir. ¿Quizás puedas aclarar qué quieres decir con "caso de dimensión infinita"? Los valores propios de los operadores de momento angular (supongo que excluye el giro) son siempre números enteros.
@ZeroTheHero Spin es solo un caso especial de la teoría de la representación de ENTONCES ( 3 ) donde encontramos una representación unitaria proyectiva sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita. Como es proyectivo, representamos SU ( 2 ) en cambio, encontramos valores propios enteros y semienteros. Estoy buscando una explicación teórica de representación de por qué en el caso de dimensión infinita solo obtenemos valores enteros. El espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables es de dimensión infinita, por lo que nuestra representación de ENTONCES ( 3 ) debe ser de dimensión infinita.
No. El espacio de Hilbert es altamente reducible y se descompone en una suma directa de representaciones de dimensión finita (en algunos casos muy grandes). @ValterMoretti acaba de responder mientras escribía mi comentario.
¿ Sería Matemáticas un mejor hogar para esta pregunta?

Respuestas (1)

Desde S O ( 3 ) es compacto, en vista del teorema de Peter-Weyl, toda representación unitaria fuertemente continua de S O ( 3 ) en un espacio de Hilbert es una suma directa (no una integral directa) de representaciones irreducibles de dimensión finita que, a su vez, son representaciones de dimensión finita de S tu ( 2 ) . Entonces, una vez que conoce todas las dimensiones finitas de S tu ( 2 ) Representaciones que sabes todo.

Me acabas de ganar..
Lo siento... Sucede :)
No es un gran trato. ¡Mantenerse bien!
@ValterMoretti Entiendo esto, pero aún no explica por qué solo vemos valores propios de valores enteros cuando representamos SU ( 2 ) en L 2 ( R 3 ) . Sin embargo, acabo de encontrar una explicación de por qué esto es lo que publicaré como una actualización.
@JacksonBurzynski, ¡hazlo, por favor!
No entiendo bien el problema. ¿Estás preguntando por qué? j k ¿Los operadores de posición y momento construidos conducen solo a valores propios enteros?
@ValterMoretti Estaba buscando una explicación teórica de representación. Vea mi edición para la explicación.
¿Cuál es la distinción entre "fuertemente continuo" como dices, y "continuo"?
Hay tres topologías relevantes que se ocupan de los operadores en los espacios de Hilbert (en realidad siete, pero las más relevantes son los siguientes tres mosaicos) y, en particular, para una representación GRAMO ∋ gramo ↦ tu gramo dónde GRAMO es un grupo topológico y cada tu gramo es un operador acotado en un espacio fijo de Hilbert H . Continuidad uniforme | | tu gramo − tu F | | → 0 como gramo → F , fuerte continuidad tu gramo ψ − tu F ψ → 0 como gramo → F para cada ψ ∈ H ,
y débil continuidad ⟨ ψ | tu gramo ϕ ⟩ → ⟨ ψ | tu F ϕ ⟩ como F → gramo para todos ψ , ϕ ∈ H . Si la representación está hecha de operadores unitarios de continuidad fuerte y débil son equivalentes. Si H es de dimensión finita todas las nociones son equivalentes.
Continuo es genérico. Por lo general, en la teoría de la representación (también en los espacios de Banach) continuo significa fuertemente continuo. La continuidad uniforme es demasiado fuerte para las aplicaciones físicas, ya que implica que los generadores de representaciones unitarias para los grupos de Lie están acotados y definidos en todo el espacio de Hilbert, y es un requisito imposiblemente fuerte en las aplicaciones a las teorías cuánticas donde los generadores suelen ser autosuficientes ilimitados. operadores adjuntos.
Representaciones de dimensión infinita de SO(3)SO(3)\text{SO}(3)
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