Valores propios y funciones propias del potencial exponencial V(x)=exp(|x|)V(x)=exp⁡(|x|) V(x)=\exp(|x|)

El artículo que cita cubre un caso similar, que fue resuelto previamente por ST Ma ( Phys. Rev. 69 no. 11-12 (1946), p. 668 ), pero trata el problema de dispersión en la cola de la exponencial, por lo tanto las energías complejas. Lo que sigue está parcialmente inspirado en ese documento, pero es bastante distinto de él. La parte difícil es no asustarse con las funciones de Bessel, pero es por eso que tenemos la teoría de las funciones especiales.

Por un lado, el potencial exponencial$e^{|x|}$que pides es una función par, lo que significa que las funciones propias correspondientes en$(-\infty, \infty)$será par o impar. Por lo tanto, pueden tratarse como funciones propias del potencial más simple$e^x$en$(0,\infty)$, con condición de frontera$\psi'(0)=0$o$\psi(0)=0$, respectivamente. Dado que pregunta sobre la última condición, no tiene sentido mantener el valor absoluto.

El problema, entonces, es el problema del valor propio

$$-\frac{d^2}{dx^2}\psi+A e^x \psi=E\psi\text{ under }\psi(0)=0=\psi(\infty).\tag{problem}$$

(Una palabra sobre las dimensiones: para reducir la ecuación a esta forma, hemos tenido que establecer$\hbar, m$y la escala de longitud de la exponencial a 1, tomando las unidades apropiadas de tiempo, masa y longitud respectivamente. Esto significa que ya no hay libertad dimensional, y el hamiltoniano tiene un parámetro libre,$A$, que afectará no solo a la escala del espectro (que se podría esperar como$A$es una escala en el potencial) pero también su estructura.)

Amor et al. tratar esto como un problema de valores en la frontera en$\mathbb C$y usando un cambio a una variable compleja. Esto complica el problema más de lo que realmente es necesario y, por simplicidad, solo usaré variables reales, aunque esto tiene el costo de tratar con funciones de Bessel modificadas en lugar de las estándar. El paso inicial es cambiar la variable a$z=2\sqrt{A}e^{x/2}$, de modo que$Ae^x=z^2/4$y las derivadas se transforman como

$$\frac {\partial }{\partial x}=\frac {\partial z}{\partial x}\frac {\partial }{\partial z}=\frac {z }{2}\frac {\partial }{\partial z} \text{ so } \frac {\partial^2 }{\partial x^2} =\frac14\left( z^2\frac {\partial^2 }{\partial z^2}+z\frac {\partial }{\partial z} \right).$$ La ecuación final es así $$\left[ z^2\frac {\partial^2 }{\partial z^2}+z\frac {\partial }{\partial z}-(z^2+\nu^2) \right]\psi=0 \tag{equation}$$ dónde $\nu=i\sqrt{4E}$. (Sí. Cierta complejidad es inevitable. Sin miedo, eventualmente no importará).

Esta ecuación es la ecuación de Bessel en forma modificada con índice$\nu$. Esto es exactamente lo mismo que la ecuación de Bessel para situaciones más normales; el índice es complejo pero eso es todo. Dos soluciones linealmente independientes son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo,$I_\nu(z)$y$K_\nu(z)$, por lo que la solución general de$(\text{equation})$parece

$$\psi(z)=aI_\nu(z)+bK_{\nu}(z).$$ Entonces solo necesitamos imponer las condiciones de contorno $\psi|_{z\rightarrow \infty}=\psi|_{z=2\sqrt{A}}=0$:

• La condición en el infinito requiere que fijemos el coeficiente de$I_\nu$a cero, ya que la función First Kind siempre explota . Podríamos haber hecho esto desde el principio:$K_\nu$es, por definición , la solución que decae exponencialmente, mientras que$I_\nu$crece exponencialmente.

• la condición en$x=0$entonces simplemente requiere que$K_\nu(2\sqrt{A})=0$. En términos de energías, entonces,

  $$\boxed{K_{2i\sqrt E}(2\sqrt{A})=0,}$$ y esta es su condición de cuantización .

Como sucede,$K_\nu(z)$ es real de verdad$z$y puramente imaginario$\nu$. Una forma de probar esto es a través de esta representación integral :

$$K_{\nu}(x) =\sec( {\nu\pi}/{2})\int_{0}^{\infty}\cos(x \sinh\nolimits t)\cosh(\nu t)dt,$$ que es el análogo de la Primera Integral de Bessel para $K_\nu$; alternativamente, también se sigue de la simetría de conjugación $$K_{\nu^*}(z^*)=K_\nu(z)^*,$$ que se sigue de la representación integral pero es una propiedad más fundamental de la función.

Ya que$K_\nu$es real aquí, por la razón que sea, podemos pedir sus ceros. Al igual que con todos los ceros de Bessel , no existe la posibilidad de una fórmula elemental para ellos, pero se pueden encontrar con bastante facilidad utilizando métodos numéricos (para conocer las propiedades de los ceros, consulte esta referencia de DLMF ). Para un catador, aquí hay algunos gráficos, en escala logarítmica lineal (para que los ceros se muestren como picos hacia abajo, como logaritmos), de$K_{2i\sqrt{E}}(2\sqrt{A})$como una función de$E$, para algunos valores diferentes de$A$.

Si bien no hay mucho que decir sobre las energías de esto, está claro que hay una infinidad contable de ellas, que son más grandes que$A$, y que su espaciamiento aumenta al aumentar$A$y$n$(¿por qué?), ¡pero eso es realmente todo lo que realmente querrías saber!

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Solo para completar: las propias funciones propias, entonces, son de la forma

$$\psi_n(x)=C_nK_{2i\sqrt{E_n}}\left( 2\sqrt{A}e^{x/2} \right).$$ Es interesante notar que la dependencia en $n$viene a través del índice en lugar de un coeficiente antes $x$. Esto es en parte para asegurar la muy estricta decadencia $\psi\sim e^{-\exp(x/2)}$, que es requerido por la pared exponencial muy dura del potencial. Para obtener información sobre cómo se comportan estas funciones de Bessel, pruebe la subsección Funciones de orden imaginario en el DLMF; resultados particularmente importantes son las asintóticas en $K_{i|\nu|}$en general$x$y para la región oscilatoria . este último es $${K}_{{i\nu}}\left(z\right)=-\left(\frac{\pi}{% \nu\mathop{\sinh}\left(\pi\nu\right)}\right)^{{\frac{1}{2}}}% \mathop{\sin}\left(\nu\mathop{\ln}\left(\tfrac{1}{2}% z\right)-\gamma_{\nu}\right)+\mathop{O}\left(z^{2}\right),$$ por lo que la asintótica de la función de onda es de la forma $\psi(x)\sim\sin\left(\sqrt{E_n}x\right)$, como debería ser. (Sin embargo, tenga en cuenta que esto contiene poca física más allá del estándar: la información sobre la variación del potencial está codificada en el cambio de la frecuencia instantánea como, por ejemplo, en estas fórmulas , y requeriría matemáticas más sólidas).