¿Qué queremos decir exactamente con un "objeto topológico" en física?

Creo que la definición más amplia de un objeto topológico sería cualquier objeto cuyas características relevantes no dependan de ninguna métrica. En su lugar, puede depender de propiedades topológicas tales como dimensionalidad, límites, compactación, conectividad (componentes conectados o disjuntos), Conectividad (simplemente conectado frente a múltiples conectados), orientabilidad (por ejemplo, banda de Mobius frente a esfera), etc. Esa es una definición bastante abstracta y definitivamente implicaría diferentes interpretaciones dependiendo del contexto. El término objeto topológico puede referirse a un término matemático que entra en la teoría en un nivel fundamental (por ejemplo, el término theta topológico) oa un objeto físico que es el "resultado" de una teoría.

En el contexto de la teoría de campo (que creo que es la que le interesa), los objetos topológicos son soluciones finitas (densidad de energía) a ecuaciones de campo no lineales (clásicas) cuya estabilidad está garantizada por alguna carga topológica conservada o invariante. Son soluciones extendidas, en el sentido de que están localizadas en una región finita del espacio y además se comportan como partículas.

En este sentido, los objetos topológicos no son una mera construcción matemática. Surgen de forma natural en algunas teorías, por ejemplo, teorías no lineales y de degeneración del vacío, y desempeñan un papel importante en áreas como la teoría de campos, la física de la materia condensada y la astrofísica/cosmología.

La diferencia entre una solución topológica (objeto) y una no topológica se refiere al mecanismo que da estabilidad a cada solución. Por ejemplo, hay soluciones para ecuaciones de campo no lineales (como la ecuación KdV) que también son soluciones extendidas estables, pero no topológicas. Su estabilidad proviene del Teorema de Noether y no está relacionada con ninguna propiedad topológica del campo.

Ahora llega al punto en el que debemos entender la relación entre invariantes topológicos y campos. En otras palabras, ¿cómo puede la topología de los campos (deformaciones continuas) inferir sobre su estabilidad?

Para tener una idea de la respuesta de la pregunta anterior, considere la solución topológica más simple en la teoría relativista de campos, una torcedura en el$\phi^4$teoría en$1+1$tiempo espacial. La siguiente figura muestra el potencial$V(\varphi)$, la configuración del campo estático$\varphi(x)$y la densidad de energía$\epsilon(x)$de una solución topológica en esa teoría

Si esta solución fuera inestable, entonces se descompondría en el vacío, es decir, la configuración del campo se deformaría continuamente (aparecería la topología) en una línea recta, ya sea en$+v$o en$-v$. Pero como mover cualquier parte infinitesimal del campo de$-v$a$+v$uno tiene que atravesar una barrera de energía finita (el bache en el potencial) y el costo de energía para hacer esto en toda la configuración del campo es infinito. Ninguna transformación no singular puede deformar esta solución topológica en el vacío para que sea estable.

¿Cómo podemos traducir el argumento físico en las llamadas invariantes topológicas? Las soluciones topológicas en la teoría de campos normalmente se clasifican de acuerdo con las clases de homotopía de la variedad de vacío (el conjunto de valores esperados de campo que anula el potencial escalar). En el caso de torceduras uno está interesado en$π_0(\mathcal M)$, el conjunto conjunto de componentes de camino de$\mathcal M$. Este objeto simplemente dice si el colector de vacío está conectado o no, o en otras palabras, si el vacío está hecho de partes separadas. Tenga en cuenta en nuestro ejemplo que esto es exactamente lo que será relevante para la estabilidad de la solución. El colector de vacío tiene dos piezas separadas,$\pm v$, y el hecho de que el campo escalar interpole asintóticamente estos dos puntos es lo que impide que decaiga en la solución trivial.

Otras soluciones topológicas tienen una descripción similar. Para vórtices (tubos de flujo o cuerdas cósmicas) estamos interesados ​​en el grupo fundamental$\pi_1(\mathcal M)$que clasifica$\mathcal M$en consecuencia, cómo los caminos cerrados pueden o no pueden reducirse continuamente a un punto. Para los monopolos (o erizos), la característica topológica relevante es cómo las superficies cerradas se pueden contraer hasta un punto, por lo que el grupo de homotopía que caracteriza estas soluciones es el segundo grupo de homotopía.$\pi_2(\mathcal M)$. El hecho de que para cada tipo de solución exista un respectivo grupo de homotopía que la clasifique está asociado a la dimensión del espacio-tiempo y cómo el campo escalar (Higgs) proporciona un mapa entre el infinito espacial y la variedad de vacío.

En otras áreas, puede haber algunas diferencias al referirse a un "objeto topológico". Por ejemplo, escucho a personas de materia condensada decir ese término cuando se refieren a algún material en sí mismo, como un aislante topológico. Sin embargo, la topología entra en este caso también de forma similar a la descrita anteriormente. Se estudia cómo ciertos mapas (desde la primera zona de Brillouin hasta alguna variedad de energía) se deforman continuamente.

Un defecto topológico es una solución de su ecuación de movimiento (es decir, un estado propio de su hamiltoniano, digamos) que es estable bajo la teoría de la perturbación. Sin embargo, la definición precisa requiere una condición específica y, hasta donde yo sé, no existe una definición matemática global (ver la revisión de Mermin 1979 que intenta dar algunas). Por ejemplo, una pared de dominio es una configuración del espín del electrón que es estable bajo la aplicación de un pequeño campo magnético, o una pequeña deformación de la red si coloca sus electrones en una red. La dificultad suele estar en definir lo que significa pequeño.

Además, tenga en cuenta que un objeto topológico (como los que se definen en las teorías cuánticas de campos) suele ser un objeto clásico. Me gusta la presentación de Rubakov en Teoría clásica del campo gauge, que muestra claramente qué es un modo de energía cero en términos de perturbación. En cuanto a su significado físico profundo, bueno, son la solución de su ecuación de movimiento (diga la ecuación de Schrödinger si lo desea), por lo que son modos habituales a ese respecto, pero viven entre diferentes vacíos, es decir, vinculan los diferentes degenerados. vacua (también llamado estado fundamental). Es por eso que requieren degeneración del estado fundamental.

Un ejemplo simple (al menos para mí que trabajo en superconductividad) es el modelo de Ginzburg-Landau. Cuando está descargado, exhibe los solitones de deslizamiento de fase como un ejemplo de objeto topológico (ver también el libro de Coleman Aspecto de la simetría para una buena introducción + sobre el tema), ver, por ejemplo, una respuesta mía: physics.stackexchange.com/a/112206 /16689 . Cuando el condensado está cargado (es decir, tiene una derivada covariante) también hay soluciones de vórtice que son estables (consulte el libro de Rubakov citado anteriormente)

El significado amplio es: un objeto que depende de las propiedades globales del sistema, en lugar de depender de la métrica u otras propiedades locales. Por lo tanto, estos objetos se describen a través de conceptos topológicos como grupo de homotopía, grupo fundamental, etc.