¿Cuál es la diferencia entre la invariancia de difeomorfismo y la invariancia de reparametrización?

Invariancia del difeomorfismo

Dejar$M$ser una variedad suave. Dejar$\phi: M \to M$sea ​​un difeomorfismo. Una propiedad simple de las ecuaciones de Einstein es

$$g \in \otimes^2 TM \text{ is solution to vacuum Einstein equation} \implies \text{ so is } \phi^*g$$

Para ver que esto es cierto, simplemente retire ambos lados de la ecuación de Einstein por$\phi$, y usamos la propiedad del tensor de Ricci$\phi^*Ric_{(g)} = Ric_{(\phi^*g)}$.

Tienes una familia$[g] \equiv \{\phi^*g | \phi \in Diff^+(M)\}$de estructuras riemannianas en su variedad que se supone que describen la misma física. Esto es lo que yo llamaría la noción de invariancia del difeomorfismo en la relatividad general.

Invariancia de reparametrización

Una parametrización de una variedad$M$por otra variedad$N$es un difeomorfismo$\varphi: M \to N$.$N$parametriza$M$en el sentido de que a apunta$p \in M$corresponder suavemente los puntos en$\varphi(p) \in N$.

La invariancia de reparametrización generalmente significa un escenario donde la elección de este difeomorfismo$\varphi \in Diff(M \to N)$no importa

Aquí hay un ejemplo simple de lo que la gente podría llamar invariancia de reparametrización.

Toma una curva suave$\gamma: [0, 1] \to M$, y supongamos que$\gamma$resuelve la ecuación geodésica. Dejar$\gamma': [0, 1] \to M$sea ​​otra curva, tenemos el siguiente hecho (trivial)

$$\text{ $image(\gamma') = image(\gamma)$ } \implies \gamma' \text{ is also a geodesic}$$

es decir, a la ecuación geodésica (longitud funcional, no energía funcional) no le importa cómo parametrizas tu curva.

A veces son lo mismo

Para resumir, hasta ahora, he presentado la invariancia del difeomorfismo como una afirmación sobre las estructuras de Riemann en una variedad, y la invariancia de la reparametrización como una afirmación sobre los difeomorfismos de una variedad a otra. Hay algunos escenarios en los que estas nociones aparentemente diferentes son realmente lo mismo.

Ejemplo 1: Reparación de curvas

Considere nuestra descripción de la invariancia del difeomorfismo aplicada a un$1$-colector. Estructuras de Riemann en$1$-variedades son equivalentes a reprarmetrizaciones de la curva. Hacer retroceder el producto interno de Riemann en el fibrado tangente mediante un mapa suave es equivalente a reparar la curva suavemente. Entonces, nuestra noción de invariancia de difeomorfismo e invariancia de reparametrización son la misma cosa.

Ejemplo 2: Moduli Space de superficies cerradas orientables

Dejar$\Sigma$sea ​​una superficie cerrada orientable. Digamos que estamos interesados ​​en el espacio.$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n}$de todas las subvariedades de$\mathbb R^n$difeomorfo a$\Sigma$.

Una forma de hacer explícito este espacio es considerar los difeomorfismos

$$e: \Sigma \to \mathbb R^n$$

Pero algunos de estos difeomorfismos se mapean en la misma subvariedad en$\mathbb R^n$. Estos son exactamente los difeomorfismos relacionados por una precomposición con difeomorfismos en la superficie misma. Por lo tanto, tenemos una descripción de nuestro espacio de módulos como clases de equivalencia de difeomorfismos

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq E \equiv \{e: \Sigma \to \mathbb R^n\}/\sim~~~ e \sim f \iff e = f \circ \phi ~~ \text{ for some } \phi \in Diff(\Sigma)$$

ahora da$\mathbb R^n$la métrica euclidiana habitual$g_{\mathbb R^n}$. un difeomorfismo$e: \Sigma \to \mathbb R^n$retrocede la métrica a$\Sigma$a través de$g_e \equiv e^*g_{\mathbb R^n}$. Observar:

$$g_{e \circ \phi} = (e \circ \phi)^*g = \phi^*g_e$$

En particular, cuando$\phi \in Diff(\Sigma)$, esto dice que los retrocesos por homeomorfismos en la misma clase de equivalencia están relacionados por retrocesos por homeomorfismos en la superficie. Por lo tanto, otra descripción equivalente del espacio de módulos es

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq F \equiv \{g \text{ metric on } \Sigma\}/\sim~~~ g \sim h \iff g = \phi^*h ~~ \text{ for some } \phi \in Diff(\Sigma)$$

En resumen, encontramos

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq E \simeq F$$

observar ahora

• La relación de equivalencia en$E$es la identificación de homeomorfismos que tienen la misma imagen. Llamaríamos a esto invariancia de reparametrización.
• La relación de equivalencia en$F$es el retroceso de la métrica por difeomorfismos en$\Sigma$. Llamaríamos a esto invariancia de difeomorfismo.

En otras palabras, en este caso la invariancia del difeomorfismo es una manifestación de la invariancia de la reparametrización en el espacio de la métrica riemanniana.