¿Cómo ver que FFF FFF dual es un término superficial?

Para complementar las pruebas de Nakahara y Nogeira, cuando hice este cálculo, la parte más desconcertante fue el origen de la$\frac{2}{3}$delante de$A\wedge A\wedge A$, pero es fácil averiguarlo:

$$\begin{align*} Tr[F\wedge F] =&\ Tr\left[dA\wedge dA+dA\wedge A\wedge A +A\wedge A\wedge dA+A\wedge A\wedge A\wedge A\right] \\[0.5em] =&\ Tr\left[dA\wedge dA+2dA\wedge A\wedge A\right] \\ =&\ Tr\left[dA\wedge dA+\frac23(dA\wedge A\wedge A -A\wedge dA\wedge A+A\wedge A\wedge dA)\right] \\ =&\ Tr\left[d(A\wedge dA)+\frac23d(A\wedge A\wedge A)\right] \\ =&\ d\ Tr\left[A\wedge dA+\frac23A\wedge A\wedge A\right] \end{align*}$$

donde el punto clave es que$Tr[dA\wedge A\wedge A]=-Tr[A\wedge dA\wedge A]=Tr[A\wedge A\wedge dA]$, como se puede verificar fácilmente a partir de la ciclicidad de la traza y la antisimetría del producto de cuña (recuerde que$A$tienen valor matricial, no$\mathbb{R}$-valorado 1-formas).

Esto demuestra que la densidad de Pontryagin$Tr[F\wedge F]$es exacta y que su forma generadora es un término de Chern-Simons.

En cuanto a los componentes$A=A_\mu dx^{\mu}$, tenemos

$$\\\ \frac{\theta}{2\pi}\mathrm{tr}\left[F\wedge F\right]=\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\partial_{\mu} A_{\nu}+A_{\mu}A_{\nu})(\partial_{\rho} A_{\sigma}+A_{\rho}A_{\sigma})\right] \\\\ $$ Y luego $$\frac{\theta}{2\pi}\mathrm{tr}\left[F\wedge F\right]=\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_{\mu}(A_\nu\partial_\rho A_\sigma+\frac{2}{3}A_{\nu}A_\rho A_\sigma)\right]+\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[A_{\mu}A_{\nu}A_\rho A_\sigma\right]\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$

por permutaciones cíclicas en$\nu$,$\rho$,$\sigma$y el hecho de que$\partial_\mu \partial_\nu$es simétrico Ahora, el último término desaparece ya que una permutación cíclica de un número par de elementos siempre es impar (en este caso cuatro elementos)