Topología del espacio-tiempo en dimensión 2+1

Gran pregunta. Creo que estos son el tipo de topologías con las que les gusta tratar a los físicos, ciertamente no es cierto que estos son todos los espacios que se pueden escribir.

Por ejemplo, si exige hiperbolicidad global, obtendrá algo como lo que describe.

En general, deja$X$ser una variedad suave, y$\{U_i\}_{i \in I}$ser un atlas, dejar$\mathcal T$sea ​​el haz de tensores de rango 2 positivos simétricos sobre$X$. si puedes proporcionar

• Condiciones iniciales para las ecuaciones de Einstein en algún subespacio de$U_i$, y
• secciones$g_i \in \mathcal T(U_i)$que resuelven las ecuaciones de Einstein con estas condiciones iniciales tal que
• $g_i$pegar suavemente a una sección$g \in \mathcal T(X)$

Entonces eres libre de llamar a la pareja.$(X, g)$un espaciotiempo.

¿Significa esto que todas las variedades de espacio-tiempo (planas) que podríamos permitir en la dimensión 2+1 son necesariamente de esta topología (parece ser una gran restricción)?

Carlip está hablando de variedades compactas . Si elimina el requisito de compacidad, entonces su declaración ya no es verdadera y ni siquiera tiene sentido, porque se refiere a un límite.

Como ejemplo concreto, es posible que un espacio-tiempo plano en 2+1 dimensiones tenga la topología del espacio tridimensional euclidiano. Simplemente no sería compacto.

Para ver el punto de lo que habla Carlip, considere el ejemplo de GR en 2+1 dimensiones en una esfera de 3, que es compacta. En la esfera, no podrá definir una orientación de tiempo.

Además, ¿es necesario que el límite de un espacio-tiempo (para aquellos que lo tendrían) sea similar al espacio?

Sí, creo que hay contraejemplos si el límite es temporal. Por ejemplo, considere una dona sólida con la topología$B^2\times S^1$, dónde$B^2$es un disco cerrado. Deje que la orientación del tiempo apunte alrededor de la rosquilla, es decir, rodeando el orificio de la rosquilla. El límite es temporal y la topología no tiene la forma$[0,1]\times\Sigma$.