Cohomología equivalente y secuencia de Mayer-Vietoris

Estoy leyendo este artículo sobre la teoría del campo topológico y estoy un poco confundido acerca de la forma en que calcula la cohomología equivalente de$S^2$bien$\mathrm{U}(1)$, es decir$H^\bullet_{S^1}(S^2)$. Puede encontrar esto en la página 92 ​​- 93. En particular, hay dos problemas:

1. Me queda claro el significado de la ec. (10.24), es decir, estoy de acuerdo con eso$k$clase de cohomología th para$k\geq 2$. Pero no entiendo cómo encontrar eso para$k=1$. Mi razonamiento es el siguiente. Considero la secuencia exacta (para evitar notaciones engorrosas, escribiré$H^\bullet$en lugar de$H^\bullet_{S^1}$) $$0\rightarrow H^0(S^2) \rightarrow H^0(U_1)\oplus H^0(U_2) \rightarrow H^0(U_1\cap U_2) \rightarrow H^1(S^2) \rightarrow H^1(U_1)\oplus H^1(U_2) \rightarrow 0.$$ Entonces, como se explica en la parte superior de la página 93,$H^\bullet(U_i) = \mathbb{C}[\Omega]$, además desde$U_1\cap U_2$es una retracción de deformación de$S^1$en la que$S^1$actúa libremente, de modo que$H^0(U_1\cap U_2) = \mathbb{C}[\Omega]$. Por eso me quedo con: $$0\rightarrow H^0(S^2) \rightarrow \mathbb{C}[\Omega]\oplus\mathbb{C}[\Omega] \rightarrow \mathbb{C}[\Omega] \rightarrow H^1(S^2) \rightarrow \mathbb{C}[\Omega]\oplus \mathbb{C}[\Omega] \rightarrow 0.$$ Ahora, ¿es esto correcto? ¿Cómo puedo deducir$H^0$y$H^1$?
2. ¿Por qué en (10.25) especifica$f(0) = g(0)$? ¿De dónde viene esta condición?

Además, en lo que sigue inmediatamente, también intenta calcular la misma cohomología con el modelo de Cartan. Aquí lo que no me queda claro es que él dice que una clase de cohmología es