¿Cuál es el número de bobinado de un monopolo magnético y por qué se conserva?

Tenía la intención de actualizar mi respuesta a su pregunta original para brindarle la información adicional requerida. Es solo un poco técnico y toma algo de tiempo escribir todos los tecnicismos.

En realidad, uno solo tiene que escribir el funcional:

$\int_{S_2} \mathrm{tr}(\Phi d\Phi \wedge d\Phi)$,

dónde,

$\Phi = \Phi_x \sigma_x + \Phi_y \sigma_y + \Phi_z \sigma_z$, ($\sigma_x , \sigma_y, \sigma_z$son las matrices de Pauli)

explícitamente en su sistema de coordenadas favorito para entender su significado:

Primera observación:

Teniendo en cuenta la restricción que define las dos esferas:$\Phi_x ^2+\Phi_y ^2+\Phi_z ^2=1$, (En notación matricial, esta condición es equivalente a$\Phi^2 = I$)

entonces el integrando es solo el elemento de área de las dos esferas (vacío de Higgs).

Segunda observación:

Considere las dos formas:

$\omega = \mathrm{tr}(\Phi d\Phi \wedge d\Phi)$.

Es fácil comprobar que está cerrado:

$d\omega =\mathrm{tr}(d\Phi \wedge d\Phi \wedge d\Phi)= 0$(por la antisimetría del producto cuña)

Pero no puede ser exacto, de lo contrario, el área de las dos esferas habría sido cero por el teorema de Stokes.

Tercera observación:

La variación de esta forma (con respecto a cualquier perturbación) es exacta:

$\delta \omega = d \mathrm{tr}(\delta \Phi \Phi d\Phi)$

(Tenga en cuenta que uno necesita usar la condición:$\Phi^2 = I \rightarrow \Phi \delta \Phi +\delta \Phi \Phi = 0$)

Primera conclusión: Esta forma no cambia bajo una variación infinitesimal de los campos. Dado que cualquier mapa continuo puede construirse a partir de una serie de mapas infinitesimales, esta forma no cambia para deformaciones continuas del mapa.$\Phi$. Por lo tanto, es un invariante topológico.

Segunda conclusión: observe el elemento de área de superficie en coordenadas esféricas:$\omega = sin\theta d\theta d\phi$y considera el mapa$\theta \rightarrow \theta$,$\phi \rightarrow N \phi$, Claramente este mapa da vueltas a la esfera N veces y no es difícil verificar que la integral es igual a N. Esta es la razón del nombre número de vueltas. En mi respuesta a su primera pregunta, se dieron otra familia de mapas con números arbitrarios de vueltas.

El número de bobinado de un monopolo magnético es 7 en 4D. Se conserva tanto en calibre SU(2) como en calibre SU(3), donde depende del color. Excluye un carácter algorítmico tanto para gamma_mu como para gamma_nu en la ecuación de Dirac. Ambas conexiones son "zurdas".