¿Qué producto se utiliza en la ecuación de Dirac?

Acabo de enterarme de que el hamiltoniano de Dirac en la ecuación de Dirac viene dado por H = C α ⋅ pag → + β metro C 2 y α es un 4 X 4 representado como [ 0 σ σ 0 ] donde el σ s son matrices de Pauli Spin. Lo sabemos pag → = − i ℏ ∇ es un 3 vector/operador. No entiendo este producto entre una matriz 4X4 y un vector 3.

relacionado/posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/257175/84967

Respuestas (2)

Te perdiste la flecha del vector en α → . Entonces α → es un "vector" que tiene 3 componentes ( α X , α y , α z }. Y cada uno de estos 3 es un 4 × 4 matriz.

O más explícitamente:

α X = ( 0 σ X σ X 0 )
α y = ( 0 σ y σ y 0 )
α z = ( 0 σ z σ z 0 )

El hamiltoniano de Dirac

H = C α → ⋅ pag → + β metro C 2
es una notación abreviada para
H = C ( α X pag X + α y pag y + α z pag z ) + β metro C 2

Así que finalmente el hamiltoniano es un 4 × 4 matriz donde cada uno de sus componentes es un operador diferencial. Puedes aplicar esto a un 4 -campo de espinor componente

( ψ 1 ( r → , t ) ψ 2 ( r → , t ) ψ 3 ( r → , t ) ψ 4 ( r → , t ) )
para obtener otro 4 -campo de espinor componente.

Sí, en realidad no usé el signo del vector porque me molestaba la idea de que un vector tuviera matrices como sus componentes; p. Entiendo que no es un vector de tres. Entonces, ¿las derivadas en los operadores de impulso actúan individualmente en todos los componentes del espinor? Además, ¿podría ayudarme con recursos que sean matemáticamente más completos ya que las anotaciones realmente me desaniman? (No sé si eso tiene sentido)
@NabaneetSharma Sí, los derivados espaciales actúan por igual en los componentes individuales del espinor.

Dentro de poco α es un vector de 4 × 4 matrices, se denota mejor por α → quizás, entonces la estructura es más evidente:

α → ⋅ pag → = α X pag X + α y pag y + α z pag z

dónde

α i = ( 0 σ i σ i 0 )
para i ∈ { X , y , z }

Al final del día tienes una matriz de tamaño. 4 × 4 actuando sobre espinores como describe la otra respuesta.

El hamiltoniano proporcionado por el OP probablemente no sea la versión más esclarecedora, ya que no muestra la invariancia de Lorentz de la ecuación de Dirac.

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