Operación matricial en matrices dirac

Es solo una manipulación de matriz. Dejar$\sigma_i$matrices de Pauli.

$$\begin{equation} \alpha_i p_i= \begin{pmatrix} 0& \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix} p_i . \end{equation}$$ $\alpha_i p_i= \begin{pmatrix} 0& p_1 \sigma_1 \\ p_1\sigma_1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& p_2 \sigma_2 \\ p_i\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& p_3 \sigma_3 \\ p_3\sigma_3 & 0 \end{pmatrix}$

Pero$\sigma_1 p_1 = \begin{pmatrix} 0& 1 \\\ 1 & 0 \end{pmatrix}p_1=\begin{pmatrix} 0& p_1 \\\ p_1 & 0 \end{pmatrix}$,

$\sigma_2 p_2= \begin{pmatrix} 0& -i \\\ -i & 0 \end{pmatrix}p_2=\begin{pmatrix} 0& -ip_2 \\\ ip_2 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 p_3= \begin{pmatrix} 1& 0 \\\ 0 & -1 \end{pmatrix}p_3= \begin{pmatrix} p_3& 0 \\\ 0 & -p_3 \end{pmatrix}$

Ahora sumando estos obtenemos ($1\rightarrow x$,$2\rightarrow y$,$3\rightarrow z$) ,

$$\begin{equation} \alpha_i p_i= \begin{pmatrix} p_z & p_x-ip_y \\ p_x+ip_y & -p_z \end{pmatrix} . \end{equation}$$

La ecuación que escribiste solo hace una elección que debería responder todas las preguntas sobre este contexto: elige una representación de la$\alpha_i$matrices con

$$\alpha_i = \sigma_i$$ dónde $\sigma_i$son las tres matrices de Pauli . Puede comprobar que si sustituye las matrices de Pauli (particularmente $2\times 2$matrices enumeradas en el artículo de Wikipedia vinculado en la oración anterior) para $\alpha_i$en el lado izquierdo de tu ecuación, obtienes el lado derecho.

Si tu fórmula tuviera la letra griega$\sigma$en lugar de$\alpha$en el lado izquierdo, sería indiscutible. Sin embargo, con$\alpha$, es problemático. El$\alpha_i$las matrices son realmente$4\times 4$, no$2\times 2$, por lo que todas las ecuaciones anteriores deben interpretarse de modo que cada entrada de matriz de las matrices de Pauli sea en realidad un bloque

$$z \to \pmatrix {z&0 \\ 0&-z }.$$ Decimos que las matrices de Pauli se multiplicaron tensorialmente por un $2\times 2$matriz unitaria (en cierto orden). Este factor de tensor adicional en realidad no puede ser la matriz unitaria porque no se pudo encontrar ninguna matriz $\beta$que anticonmuta con todos los $\alpha_i$matrices. Pero puede ser otro $\sigma_z$, por ejemplo, en cuyo caso $\beta$puede ser elegido para ser ${\rm diag}(\sigma_x,\sigma_x)$, Por ejemplo. Alternativamente, debe ignorar la fuente y aprender algunas/todas las representaciones estándar de las matrices de Dirac .

De todos modos, hay algo descuidado en la notación en la que$\alpha_i$fueron escritos como$2\times 2$matrices y la receta más sencilla para obtener$4\times 4$matrices (producto tensorial con el$2\times 2$matriz unitaria) no funciona. Así que primero hay que ver qué$4\times 4$matrices que su fuente (si es correcta) realmente significa.