Transferencia entre versiones de campo y de una sola partícula de la ecuación de Dirac

Voy a proporcionar algunos detalles técnicos adicionales, también en apoyo de mis comentarios originales.

La densidad hamiltoniana correspondiente a la densidad lagrangiana$\mathcal L = \bar\psi (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi$es

$$\mathcal H(\vec{x}, x^0) = \pi\dot\psi - \mathcal L = i\psi^\dagger\partial_0\psi - \psi^\dagger\gamma^0(i\gamma^0\partial_0 + i\gamma^i\partial_i - m)\psi = \bar\psi(-i\gamma^i\partial_i + m)\psi$$ lo que da el hamiltoniano total $$H = \int{d^3x \; \mathcal H(\vec{x}, x^0)} = \int{ d^3x \; \bar\psi(-i\gamma^i\partial_i + m)\psi} \equiv \int{ d^3x \; \psi^\dagger(-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0)\psi}$$ Aquí $\psi$, $\psi^\dagger$(y $\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$) se entienden como operadores de campo que satisfacen $$\{\psi_\alpha(\vec{x},x^0), \psi_\beta(\vec{y},x^0)\} = \{\psi^\dagger_\alpha(\vec{x},x^0), \psi^\dagger_\beta(\vec{y},x^0)\} = 0\\ \{\psi_\alpha(\vec{x},x^0), \psi^\dagger_\beta(\vec{y},x^0)\} = \delta_{\alpha\beta}\delta(\vec{x} - \vec{y})$$ De esto en la representación de Heisenberg se obtiene fácilmente $$i\partial_0\psi = [\psi, H] = (-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0)\psi \equiv (\gamma^0\gamma^i p_i + m\;\gamma^0)\psi$$ Alternativamente, la misma forma del EOM se sigue del original derivado del Lagrangiano, $(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0$, al multiplicar por $\gamma^0$: $$(i\gamma^0\gamma^\mu\partial_\mu - m\; \gamma^0)\psi = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\; i\partial_0\psi - (-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0)\psi = 0$$

Nota : parece haber una discrepancia de signos en el formulario del OP para$H_d$, pero a juzgar por el resto de la pregunta, el problema planteado no se trata de un posible error tipográfico, sino de la interpretación de la ecuación hamiltoniana resultante, por lo que asumo que este último es el caso.

El campo de Dirac$\psi$se define en el espacio Fock asociado. Para hacer la transición a la ecuación de Dirac para estados de una sola partícula, recuerde que en la representación de Heisenberg$\psi^\dagger(x)|0\rangle = |\vec{x}\rangle_H$. Dado un espinor arbitrario de una sola partícula$|\Psi\rangle_H$considere ahora el EOM para la amplitud$_H\langle\vec{x}|\Psi\rangle_H = \langle 0|\psi(x)|\Psi\rangle_H \equiv \Psi(\vec{x}, x^0)$:

$$i\partial_0 \Psi(\vec{x}, x^0) \equiv \langle 0| i\partial_0 \psi(x) |\Psi\rangle_H = \langle 0| (-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0)\psi(x) |\Psi\rangle_H \equiv \\ \equiv (-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0) \langle 0 |\psi(x)|\Psi\rangle_H = (-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0) _H\langle x |\Psi\rangle_H = (-i\gamma^0\gamma^i\partial_i + m\;\gamma^0) \Psi(\vec{x}, x^0)$$ Aquí se hizo uso de $$_H\langle x |\Psi\rangle_H = \langle 0 | e^{iHx^0}\psi(\vec{x},x^0=0)e^{-iHx^0}|\Psi(x^0=0)\rangle = \\ = \langle 0 |\psi(\vec{x},x^0=0)|\Psi(x^0)\rangle = \langle \vec{x}, x^0=0 | \Psi(x^0) \rangle = \Psi(\vec{x}, x^0)$$ Se puede utilizar un enfoque similar con estados de muchas partículas, siendo este último definido por determinantes de Slater.

En cuanto a la relación entre el momento canónico$\pi$y el operador de cantidad de movimiento$\vec{p} = -i \nabla$, como Giulio ya señaló en su respuesta, son dos cosas diferentes: una es conjugada canónicamente a$\psi$, el otro es el generador de traslaciones en 3d-space. Sin embargo, tenga en cuenta la diferencia entre la partícula única$\vec{p}$y el impulso total$\bf P$. Este último actúa sobre el espacio de Fock.

El campo de Dirac puede reinterpretarse como una "segunda cuantización" de una teoría de una sola partícula con Hamiltonian$H_d$. Hay dos formas de hacerlo. En primer lugar, la observación que hizo anteriormente: el campo respeta una ecuación similar a Schroedinger con$H_d$como hamiltoniano y, por lo tanto, puede considerar el estado$\psi (x) = \Psi(x) |vacuum \rangle$(Solía$\Psi$para denotar el campo,$\psi$para denotar la función de onda) como una función de onda genuina. En segundo lugar, como se comenta a continuación, puede escribir el hamiltoniano del campo de Dirac de una manera que sugiera una formulación de segunda cuantización de un operador de muchos cuerpos:$\mathcal{H} = \int \bar{\psi} H_d \psi$.

Sin embargo, esta interpretación plantea un problema: el hamiltoniano$H_d$no es definida positiva. De hecho, por cada estado de energía positiva también tienes uno con la energía opuesta. Este problema se puede superar solicitando que el estado de vacío sea el que tiene todos los estados de energía negativa llenos. Debido a que estamos tratando con fermiones, esos estados se descartan efectivamente y nos quedan estados de energía positivos. (Esta fue la interpretación original dada por Dirac, el "mar de Dirac").

Ahora, esto es un poco artificio, y no es necesario. De hecho, como ya viste, si sigues el enfoque del "formalismo canónico", a partir del lagrangiano se llega a un hamiltoniano diferente.$\mathcal{H}$lo cual es manifiestamente positivo ya que se escribe como la suma de operadores$a^{\dagger} a$con coeficientes positivos (que son las energías).

En esta interpretación, usted ve la teoría de Dirac como una segunda cuantización de estados con cuadri-momento y medio de espín definidos, junto con sus "antipartículas", y renuncia a cualquier interpretación de$\psi$como una función de onda. Esto es habitual en QFT: no tiene un operador de posición y una función de onda$\psi(x)$. En cambio, los observables que considera son solo quadri-momenta, spin y helicities.

Ahora, para abordar explícitamente sus preguntas: 1) Diría que este procedimiento no es completamente legítimo, porque lo lleva a los estados de energía negativa, un problema resuelto de manera artificial con el mar de Dirac. Además, el formalismo canónico es (más o menos) una maquinaria automática que, cuando se alimenta con un Lagrangiano, le dará variables canónicas escritas como sumas de creadores/aniquiladores de una sola partícula y una construcción hamiltoniana positiva con estas variables. Siempre funciona y no requiere que hagas un esfuerzo adicional para interpretar sus resultados (como el mar de Dirac), entonces, ¿por qué deberíamos molestarnos con otras interpretaciones?

2) Supongo que los dos no están estrictamente relacionados.$p_i$es un operador de una sola partícula, puede usarlo para definir un operador de traducción en el espacio fock y supongo que obtiene algo como$P = \sum_p p a_p^{\dagger} a_p$.$\pi$es solo la variable conjugada canónicamente a$\psi$, tiene una dependencia "x" y su expansión en$a,a^{\dagger}$no contiene sus productos. Por lo tanto, la$p_i$(y$P$) no está relacionado con$pi$. Para$H_d$y$\mathcal{H}$, los dos están relacionados por$\mathcal{H} = \int \pi H_d \psi$. (Ver Weinberg, vol 1, pag 323).