Ecuación de Dirac en QFT vs QM relativista

Su problema no está relacionado solo con la ecuación de Dirac, sino con cualquier ecuación de campo que tenga. Su pregunta es sobre la interpretación del campo como una función de onda de una partícula. Hay dos conceptos que me gustaría mostrar aquí que podrían responder a su pregunta: campos y funciones de onda (son cosas diferentes).

• Un campo es un objeto.$\phi_{\alpha} (x)$, dónde$x$se comporta como un evento en el espacio-tiempo y$\alpha$es un índice que lleva una representación finita de la simetría de Lorentz . Obedecen a unas ecuaciones que relacionan la$\alpha$índices y el$x$, pero esto es irrelevante aquí. Lo relevante es que también obedecen a la ecuación de Klein Gordon, que viene dada por

  $$\partial^2\phi_{\alpha}= \pm m^2\phi_{\alpha},$$ para la firma métrica ($\pm,\mp, \cdots,\mp$).

• Una función de onda es una representación de un estado cuántico en una base particular.

  $$\psi (x)=\langle x|\psi\rangle$$ dónde$|x\rangle$comportarse como un evento (en la mecánica cuántica no relativista esto es$(t,\vec {x})$). Resulta que este estado$|x\rangle$en mecánica cuántica relativista es: $$|x\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{k^0}{p^0}}e^{-ipx}|p\rangle$$ Puedes probarte a ti mismo como un ejercicio. Tenga en cuenta que hay una raíz cuadrada, lo que evita que esta integral sea una simple transformada de Fourier de$|p\rangle$, el vector propio de P (generador de traslaciones). el conjunto de estados$|x\rangle$no constituye una base ortogonal ya que $$\langle x|y \rangle \neq 0$$ y la raíz cuadrada en la fórmula anterior es la responsable de eso. Entonces, si trabajamos con una función de onda$\langle x|\psi\rangle$en un QM relativista estamos tratando con una representación de base demasiado completa.

Ahora, si actualizamos nuestro lenguaje y pasamos al marco de segunda cuantificación , tenemos

$$|x\rangle=a^{\dagger}_x|0\rangle$$ Definiendo combinaciones lineales de operadores de creación y aniquilación de la forma: $$\phi(x)=Aa_x+Ba_x^{\dagger}$$ tal que$[\phi(x),\phi^{\dagger}(y)]= 0$Las separaciones tipo at space son una construcción útil para modelar interacciones locales de QM relativista. Esto lleva a la empresa de la Teoría Cuántica de Campos .

El campo no se interpreta como una función de onda sino como un operador$\hat{\psi}$que crea/aniquila partículas. Este procedimiento de cuantización se realiza expandiendo el campo en sus componentes de Fourier que dependen del momento, espín, etc.$a_s(p)$,$a_s^\dagger(p)$,$b_s(p)$,$b_s^\dagger(p)$(el hecho de que estos$\hat{\psi}$los operadores no son autoconjugados requiere la introducción de estos dos tipos) e interpretarlos como operadores de creación y aniquilación de partículas/antipartículas con tal cantidad de movimiento y espín. Luego, después de imponer las relaciones de (anti)conmutación correctas para estos operadores y definir el estado de vacío,$|0\rangle$como el estado aniquilado por todos los$a$s, construimos los estados de partículas individuales y múltiples como el$a^\dagger$s actuando sobre el vacío, al igual que hacemos con el oscilador armónico simple. Por ejemplo

$$|p_1,s_1;p_2,s_2\rangle = a_{s_1}^\dagger(p_1) a_{s_2}^\dagger(p_2) |0\rangle$$ (Estoy ignorando la normalización en caso de que alguien pregunte) Y lo mismo con el $b^\dagger$s para antipartículas.

Ahora bien, la ecuación de Dirac da la evolución de tales operadores y el propio hamiltoniano, al ser una combinación de estos operadores, actuando sobre esos estados dan energías positivas.

En caso de que se pregunte, los estados de posición definida se construyen con los operadores de campo actuando sobre el vacío, por lo que, por ejemplo, la función de onda de un momento definido y un estado de espín sería algo así como

$$\psi(x) = \langle x | p,s\rangle = \langle 0 |\hat{\psi}\,a_s^\dagger(p)|0\rangle$$ nuevamente ignorando la normalización.

Como lo mostraron Dirac y otros, QFT es una teoría disjunta de RQM; como consecuencia, QFT no puede resolver los problemas de RQM. Debe querer revisar la sección "8.3 ¿QFT resuelve los problemas de QM relativista?" de la Phys. Encontró. papel Mecánica cuántica: mitos y realidades . Esta es la conclusión:

Por lo tanto, en lugar de decir que QFT resuelve los problemas de QM relativista, es más honesto decir que simplemente los barre debajo de la alfombra.

Hay alguna pequeña referencia histórica.

La ecuación de Dirac tiene dos soluciones lineales que son los estados propios del hamiltoniano de Dirac: la primera se refiere a los valores positivos de energía mientras que la segunda se refiere a los negativos. En la teoría de campos clásica, podemos violar este problema estableciendo las condiciones iniciales triviales$\psi (\mathbf r , t)$para valores negativos, pero en teoría cuántica no predice la ausencia de estados "negativos", porque hay posibles transiciones discretas entre estados "positivos" y "negativos". El problema de las energías negativas es muy importante, porque la ausencia de restricciones en los estados de energía negativa promueve cosas como perpetuum mobile. No se observa experimentalmente.

Dirac resolvió fenomenológicamente este problema añadiendo la concepción del mar de Dirac a la teoría del campo libre. Esto da el número infinito de partículas enlazadas con energías negativas, lo que hace posible la ausencia de soluciones libres con energías negativas debido al principio de Pauli. Pero simultáneamente determina los procesos de aniquilación o procesamiento de partículas. Por ejemplo, si existe el estado inactivo en el vacío con energía negativa$-E$, el electrón libre con energía$2E$puede tomar este estado con emisión de energía$2E$(es igual a la aniquilación de partículas). Por lo tanto, es posible disminuir el número total y la carga de partículas libres.

Pero no hay nada crítico para interpretar la teoría de Dirac como una partícula, porque los electrones enlazados no pueden interactuar entre sí: interacción significa transición de un estado enlazado a otro, pero esto es imposible debido al principio de Pauli. Entonces, en el caso de las partículas de Dirac libres, este número infinito no es observable debido a la isotropía y la homogeneidad del espacio-tiempo, e incluso después de asumir la concepción del mar de Dirac, aún puede interpretar la ecuación de Dirac como una partícula única. Pero introduzcamos algún campo externo. Puede interactuar con el mar de Dirac y sacar las partículas de él. Entonces, la teoría de Dirac deja de ser de una sola partícula cuando el campo externo puede dar energía a la ene más de$2mc^2$.

Todos estos pensamientos condujeron a la teoría cuántica de campos. Todas las ideas y problemas que describí siguen presentes en el formalismo de cuantización (energía de vacío infinito, operadores de creación y destrucción, procesos de dispersión con creación de pares en un campo externo, etc.), pero es importante distinguir las razones y las consecuencias. En nuestro mundo no hay partículas libres con energías negativas, esta es la razón por la que introducimos la teoría cuántica de campos.