Ecuaciones RG-Flow adimensionales vs. dimensionales

Limitaré mi respuesta a la situación en el enfoque RG de Wilson con el grupo de renormalización funcional (FRG) como implementación explícita. Comencemos con una observación obvia: considerando un conjunto, la ecuación de flujo de los acoplamientos$\{\lambda_i\}$

$$\partial_k\lambda_i(k)=\mathrm{Flow}_i(k,\{\lambda_i(k)\}),\tag{1}$$ dónde$k$denota la escala RG ($\Lambda$en la pregunta Antihéroe) y$\mathrm{Flow}_i(k,\{\lambda_i\})$es una función no especificada que depende de la escala RG y todos los acoplamientos. Dejar$\lambda_i$ser de dimensión$d_i$lo que da lugar al acoplamiento adimensional$\bar\lambda_i(k)\equiv \lambda_i(k)/k^{d_i}$. Insertando la definición del acoplamiento adimensional en la ecuación. (1) rendimientos $$k\,\partial_k \bar\lambda_i(t)= -d\, \bar\lambda_i(k)+k^{1-d}\,\mathrm{Flow}_i(k,\{k^{d_i}\bar\lambda_i(k)\}),\tag{2}$$ donde multiplicamos ambos lados por$k^{1-d}$. Por conveniencia introducimos "tiempo RG" como el parámetro adimensional$t\equiv\ln(k/\Lambda)$, con una escala de referencia actualmente arbitraria$\Lambda$. Con$\partial t/\partial k=1/k$reescribimos las Ecs. (1) y (2): $$\partial_t\lambda_i(t) = k\,\mathrm{Flow}_i(k,\{\lambda_i(t)\})\equiv\,\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})\tag{4}$$ $$\partial_t \bar\lambda_i(t) = -d\, \lambda_i(k)k^{-d}+k^{-d}\,\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})=-d\bar\lambda_i(t)+\mathrm{Flow}_i'(t,\{\bar\lambda_i(t)\}).\tag{5}$$ Ahora a la observación antes mencionada: exigir$\partial_t\lambda_i(t)=0$para un punto "fijo" o exigente$\partial_t\bar\lambda_i(t)=0$para un punto fijo hay dos requisitos/definiciones completamente diferentes de puntos fijos ya que: $$0\stackrel{!}{=}\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})\neq -d\, \lambda_i(k)k^{-d}+k^{-d}\,\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})\stackrel{!}{=}0.$$ $\bar\lambda_i(t)$lleva un funcionamiento canónico basado en la dimensión del acoplamiento$\lambda_i(t)$, consulte también la pregunta relacionada "¿Son los puntos fijos de la evolución de RG realmente invariantes en escala?" . En la literatura, los puntos fijos de RG generalmente se denominan puntos fijos ($\partial_t\bar\lambda_i(t)=0$) de los acoplamientos adimensionales$\{\bar\lambda_i(t)\}$. En conexión con la imagen clásica del RG de Wilson, estos acoplamientos adimensionales permanecen constantes en un punto fijo bajo transformaciones RG que incluyen un cambio de escala ($k$o equivalente$t$)/eliminación de modo, un cambio de escala de momentos y un cambio de escala de campos. Las dos últimas propiedades podrían requerir la inclusión de la dimensión anómala de los campos de la teoría que modifican la escala canónica en el rhs de (5):$-d\rightarrow -d +\eta_{\lambda_i}$con$\eta_{\lambda_i}$como una suma de dimensiones anómalas de campo$\eta_i=-(\partial_t Z_{\phi_i})/Z_{\phi_i}$. La rh de la Ec. (5) con$\mathrm{Flow}_i'(\ldots)$es entonces completamente independiente de$t$y$k$, lo que significa una solución de punto fijo$\{\bar{\lambda}_i^*\}$con$\forall i \ \partial_t\bar{\lambda}_i^*=0$se mantiene naturalmente en todas las escalas$k$-- que es una propiedad definitoria en la noción canónica de puntos fijos RG. Puntos "fijos" con$\partial_t{\lambda}_i=0$están asociados a una escala$k^*$y no son independientes de la escala (ya que el rhs de la ecuación (1) o equivalente (4) depende de la escala). En el sentido de invariancia bajo transformaciones RG en todas las escalas, no tiene sentido discutir soluciones de$\partial_t{\lambda}_i=0$. puntos fijos de$\partial_t\bar\lambda_i(t)=0$son muy importantes para comprender las teorías y sus flujos de RG. Yo reformularía la segunda cita de la pregunta original.

La forma reescalada de las ecuaciones de flujo RG se utiliza para definir y discutir puntos fijos específicos (soluciones invariantes de escala de las ecuaciones de flujo RG).

Llegando a la primera cita y al comentario de bbrink vuelvo a reformular

Para ciertas aplicaciones, es útil volver a escalar las ecuaciones de flujo exactas anteriores y reescribirlas en forma adimensional.

Hay más en las teorías de campo (cuánticas) que puntos fijos (usando la noción canónica). Si bien son sin duda muy importantes, no son el único aspecto de interés. Para ciertas aplicaciones, especialmente las que involucran soluciones numéricas de sistemas explícitos de ecuaciones de flujo, puede ser bastante desventajoso calcular en acoplamientos adimensionales extrayendo la escala canónica.

Con respecto a los puntos "fijos" de (1) y equivalentemente (4): estas ecuaciones de flujo tienen puntos "fijos"/estacionarios en ciertas escalas/acoplamientos. Estoy totalmente en desacuerdo con el comentario de bbrink. El principio de construcción del grupo de renormalización funcional (como una implementación exacta del enfoque RG de Wilson) se basa en tales puntos estacionarios/los acoplamientos y escalas asociados: el flujo (F)RG se inicializa en una escala asintóticamente grande para una teoría dada$\Lambda$(para ciertas teorías$\Lambda\rightarrow\infty$se considera). Esta escala tiene que ser mayor que todas las escalas internas y externas, lo que significa que las fluctuaciones cuánticas por encima de la escala no son relevantes para la teoría y la teoría puede considerarse clásica en$\Lambda$, lo que significa que podemos inicializar el flujo de RG para la acción promedio efectiva con la acción clásica de la teoría (potencialmente incluyendo términos relacionados con anomalías o fijación de calibre). Una forma de cuantificar la escala$\Lambda$para una teoría especificada en$\Lambda$(con, por ejemplo, un conjunto de acoplamientos$\{\lambda_i(k=\Lambda)\}$) es exigir$\partial_k\lambda_i(k)|_{k=\Lambda}\stackrel{!}{=}0$o al menos$\approx 0$en un grado suficiente. Este requisito se menciona en la literatura de FRG como "consistencia de RG". Algunas teorías también tienen$\partial_k\lambda_i(k)=0$o$\approx 0$al acercarse al infrarrojo/pequeño$k$. Es cierto que el RG y también el FRG tienen un carácter difusivo inherente pero esto no significa la ausencia de puntos "fijos"/estacionarios en$\{\lambda_i(k)\}$. El argumento dado por bbrink en su comentario sobre la ausencia de soluciones de punto fijo en la ecuación del calor$\partial_t c(t,x)=\partial_{xx}c(t,x)$Está Mal:$c(x)=a+m x$para constantes arbitrarias$a$y$m$es una solución de punto fijo debido a su segunda derivada nula. En ese sentido, puntos fijos de$\partial_t c(t,x)$son soluciones de equilibrio "térmico", mientras que los puntos fijos de la ecuación reescalada se asemejan a soluciones de estado estacionario. De hecho, esto podría ser una buena imagen para los puntos fijos RG de$\{\lambda_i(t)\}$y$\{\bar\lambda_i(t)\}$. Los flujos de RG a menudo se pueden entender y discutir usando tales nociones de dinámica de fluidos. (La gente que formuló el (F)RG no llamó a las ecuaciones subyacentes ecuaciones de "flujo" sin ninguna razón).

Llegando a la última cita:

"La ventaja de trabajar con las ecuaciones de flujo reescaladas es que podemos leer directamente las dimensiones canónicas de los acoplamientos y así clasificar todos los acoplamientos según su relevancia con respecto a un punto fijo dado".

Uno puede clasificar direcciones en el espacio de acoplamientos$\{\bar\lambda_i(t)\}$al inearizar la Ec. (5) alrededor del punto fijo usando

$$\bar\lambda_i(t)=\bar\lambda_i^*+\delta\bar\lambda_i(t) \Rightarrow \partial_t\bar\lambda_i(t) = B_{i,j}\delta\bar\lambda_i(t)+O(\delta\bar\lambda_i(t)^2),\tag{6}$$ donde usamos el hecho de que en el punto fijo los flujos/funciones beta desaparecen. Cálculo de los valores propios$b_i$de la matriz de estabilidad wrt vectores propios normalizados uno puede clasificar direcciones/acoplamientos:$b_i<0$es UV atractivo/IR repulsivo,$b_i>0$es repulsivo UV/atrayente IR, y$b_i=0$es una dirección marginal. Esto podría significar "relevancia con un punto fijo dado", pero si ese es el caso, la elección de la palabra "relevancia" es bastante pobre ya que la noción canónica de acoplamientos relevantes, irrelevantes y marginales durante el flujo de RG no está directamente relacionado con el noción de repulsión UV/atracción IR y flujo alrededor de un punto fijo (creo, pero tal vez me equivoque en esto). Las dimensiones canónicas son necesarias para un cambio de escala adecuado. En el espíritu de lo que viene primero: iniciar un flujo dimensional eq. uno necesita averiguar las dimensiones canónicas (análisis dimensional y adiciones adecuadas de$\eta_i$) para formular la ecuación de flujo adimensional.

Espero que esta respuesta ayude a comprender las diferencias en las ecuaciones de flujo de$\{\bar\lambda_i\}$y$\{\lambda_i\}$. Sin embargo, debo admitir que no soy un experto cuando se trata de puntos fijos en el (F)RG: normalmente trabajo con acoplamientos dimensionales$\{\lambda_i\}$y mi conocimiento limitado de puntos fijos/flujos adimensionales proviene de notas de conferencias y charlas y no de experiencia práctica (que al menos para mí es algo necesaria para entender realmente este tipo de cosas). Para una aplicación explícita pero relativamente simple, recomendaría buscar discusiones de FRG sobre el modelo O(N) específicamente (pero no necesariamente exclusivamente) en el límite de N infinito, consulte, por ejemplo, los artículos "Modelos críticos de O(N) en el plano de campo complejo" y "Exponentes críticos de flujos de grupo de renormalización optimizados" , donde la rhs de la ecuación de flujo se conoce exactamente sin truncamientos en una forma simple y cerrada. Permitiendo cálculos relativamente simples de puntos críticos y cantidades relacionadas.