¿Por qué la identidad de Josephson dν=2−αdν=2−αd\nu=2-\alpha solo se cumple para la teoría del campo medio en la dimensión 444?

La relación de escala$\alpha = d \nu-2$es de hecho una relación de hiperescala, que es válida solo por debajo de la dimensión crítica superior (como siempre, justo en la dimensión crítica superior, aquí$d=4$, hay correcciones logarítmicas a la ley de escala, por lo que la relación de hiperescala no es realmente cierta).

Esta relación se puede obtener mediante algunos argumentos RG para el flujo de energía libre. Después de cambiar la escala de las longitudes por un factor$s$, Se obtiene

$$f(\tau,u)=s^{d} f(\tau s^{1/\nu},u s^{-y}),$$ con $y>0$el exponente crítico irrelevante más bajo. Aquí $u$es un operador irrelevante (relacionado con la interacción en un $\phi^4$teoría). Elegir $s=\tau^{-\nu}$, obtenemos ( $F(x)=f(1,x)$) $$f(\tau,u)=\tau^{\nu d} F(u \tau^{\nu y}).$$ Asumiendo que $F(x)$es regular como $x\to 0$, el singular comportamiento de $f$es dado por $\tau^{\nu d}$de donde obtenemos $\alpha$derivando dos veces con respecto a $T$. Obtenemos así la correspondiente relación de hiperescala.

Sin embargo, esta suposición falla para$d\geq 4$, como$F(x)$es singular en este caso (esto se debe a que el punto fijo RG ahora es el punto fijo gaussiano, en lugar del punto fijo de Wilson-Fisher). Por un argumento de campo medio, se obtiene$F(x)\propto 1/x$en cambio, y$u$se llama una variable peligrosamente irrelevante (peligroso ya que$F$es singular como$x\to 0$). Además$y=d-4$, y juntando todo, uno recupera$\alpha=0$, como se esperaba de un cálculo puramente de campo medio.