¿Qué nos dice exactamente el operador hamiltoniano?

Estás en el buen camino.

Una excelente manera de pensar en el hamiltoniano es que es lo que "causa la traducción en el tiempo". Esta es solo una jerga para el hecho, que ya observaste, de que el hamiltoniano te dice cómo avanza el sistema en el tiempo, como lo resume la ecuación de Schrödinger.

$$i\hbar d_t |\Psi\rangle = H |\Psi \rangle .$$

Supongo que esto tiene algo que ver con la relación de Heisenberg entre energía y tiempo:

$$ΔEΔt≥ℏ2$$ por lo que la relación parece ser similar a la que existe entre la posición y el momento, y creo que el conmutador de la posición y el momento es iℏ, que surge en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Por cierto. Una buena manera de entender el vínculo es darse cuenta de que, de manera similar a cómo el hamiltoniano genera traslaciones en el tiempo, ¡el operador de cantidad de movimiento genera traslaciones en la posición! Expresemos esto matemáticamente. denotar como$|x\rangle$un estado cuántico que es un estado propio del operador de posición, es decir$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$. Dejar$\Delta x$ser una cierta cantidad de desplazamiento de posición (no un operador). Resulta que

$$e^{-i\hat{p} \Delta x/\hbar} |x\rangle = |x+\Delta x\rangle. \qquad (1)$$ En inglés, esto dice que el operador $\exp[-i\hat{p}\Delta x / \hbar]$ traduce el estado $|x\rangle$por una cantidad $\Delta x$. Esto es completamente análogo al hecho de que el operador $\exp[ -i H t/\hbar]$traslada un estado hacia adelante en el tiempo en una cantidad $t$. De hecho, si tomamos la derivada de la Ec. (1) con respecto a $\Delta x$, obtenemos

$$\begin{align} (-i\hat{p}/\hbar)e^{-i \hat{p}\Delta x / \hbar}|x\rangle &= d_{\Delta x}|x+\Delta x \rangle \\ -i\hat{p}/\hbar |x + \Delta x\rangle &= d_{\Delta x}|x + \Delta x\rangle \\ \text{or} \qquad \hat{p}|\Psi\rangle &= i\hbar d_{\Delta x} |\Psi\rangle \qquad (2) \end{align}$$

Comparemos la Ec. (2) con la ecuación de Schrödinger:

$$\begin{align} \text{Schrodinger}\qquad i\hbar d_t |\Psi\rangle &= \hat{H}|\Psi\rangle \\ \text{Eq. (2)}\qquad i\hbar d_{\Delta x}|\Psi\rangle &= \hat{p}|\Psi\rangle \end{align}$$ Como puede ver, si se piensa que el operador de cantidad de movimiento hace traslaciones en posición, el hamiltoniano es totalmente similar a hacer traslaciones en tiempo. De manera completamente similar, el operador de posición genera traslaciones en impulso.

La declaración verdaderamente general aquí es que si tiene dos operadores$\hat{\alpha}$y$\hat{\beta}$con un conmutador$[\hat{\alpha},\hat{\beta}]=i\gamma$dónde$\gamma$es cualquier número real ($\gamma=\hbar$para el caso de$\hat{x}$y$\hat{p}$), después$\alpha$y$\beta$generar traducciones entre sí [3]. Tenga en cuenta que tener un$\hbar$aparecer en la ecuación de Schrödinger es una convención. Podrías trabajar con el operador.$H/\hbar$, que tiene unidades de frecuencia, en cambio y nunca ver$\hbar$está en cualquier parte de sus ecuaciones de movimiento. Prefiero mucho esto, en realidad. Esto es lo que algunas personas llaman erróneamente "establecer$\hbar$a uno".

Sin embargo, la analogía entre posición/momento y energía/tiempo se rompe en algún momento, porque no hay un operador de tiempo.

Para obtener más información sobre los operadores de traducción, consulte el artículo de wikipedia sobre operadores de traducción para obtener una descripción matemáticamente genérica, y también esta publicación de Physics SE .

[3]: En realidad, esto ni siquiera es especial para la mecánica cuántica. Si estudia geometría diferencial, encontrará relaciones como esta que se mantienen siempre que dos cosas tengan una relación similar a un conmutador.