Dos expresiones para el valor esperado de la energía

Lo primero es lo primero: el operador que corresponde a la energía es el hamiltoniano, típicamente escrito como$H$. Entonces, cuando desea obtener el valor esperado de la energía, evalúa$\langle H\rangle$.

Ahora, hay múltiples maneras de hacer esto. Una forma es usar la ecuación de Schroedinger para obtener

$$\langle H\rangle = \left\langle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\right\rangle = \int\Psi^*(x,t) i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{1}$$

Ese cálculo es completamente general, es decir, es válido en cualquier situación en la que se aplique la ecuación de Schroedinger.

Otra forma de conseguir$\langle H\rangle$es usar la definición del operador hamiltoniano, que en QM no relativista es

$$H = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)$$

eso te da

$$\begin{align}\langle H\rangle &= \biggl\langle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\biggr\rangle \\ &= \int\Psi^*(x,t)\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\biggr)\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{2}\end{align}$$

O (1) o (2) funciona en general.

Sólo para una partícula libre , el potencial$V(x,t)$es cero, y obtienes

$$\langle H\rangle = \int\Psi^*(x,t)\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\biggr)\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x$$

que es la expresión que viste en esa página web.

En primer lugar, hay algunas respuestas muy engañosas dadas anteriormente. Los cursos cuánticos introductorios no tratan adecuadamente el "tiempo". Es un parámetro, no un observable. E(operador)=ih(barra) d/dt no tiene significado. Ese operador simplemente describe la evolución temporal de una función de onda que es compleja. Así que no describe un observable físico. Sé que esto puede ser difícil de tragar debido a la relación de incertidumbre entre el tiempo y la energía. Pero no se equivoque, el "tiempo" discutido en el principio de incertidumbre es más un intervalo que un observable. Tal vez sea más fácil darse cuenta de lo que quiero decir pensando en una pregunta: ¿cuándo es el punto cero para el tiempo? No podemos establecer uno como podemos establecer un origen espacial. Entonces, para calcular el valor esperado de la energía, se requiere el uso del hamiltoniano.

En segundo lugar, la notación. = . Cualquiera de los dos es aceptable.

Tercero apagado. La partícula libre es realmente complicada. Un solo autoestado no es un estado físicamente realizable. Sólo una combinación lineal es físicamente realizable. Esto también puede parecer inexacto en el sentido de V = 0 en el pozo infinito, pero esos estados son físicamente realizables. Lo que debe tener en cuenta es que el pozo se compone de estados ligados donde el índice de los estados propios es discreto (es decir: n=1,2,3,...), pero la partícula libre se compone de estados de dispersión donde el índice de los autoestados son continuos (es decir: n= cualquiera y TODOS los números reales). Como resultado, implica una función de onda transformada de Fourier.

Como señala la respuesta de David, estas dos expresiones son correctas. Deben ser iguales entre sí en todos los casos. Para un caso particular, puede verificar que son iguales entre sí resolviendo ambos. Como complemento a la respuesta de David, pensé en analizar este caso en particular.

Voy a hacer trampa, porque sé que la función de onda de la partícula libre es$\Psi(x,t) = A\exp(-iEt/\hbar)\exp(i\sqrt{2mE}x/\hbar)$. Toma las derivadas correspondientes:

$$\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = (-iE/\hbar) \Psi(x,t)$$ $$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t) = (i\sqrt{2mE}/\hbar)^2\Psi(x,t) = (-2mE/\hbar)\Psi(x,t)$$ Conéctelos en sus dos expresiones para $\langle E \rangle$; todas las constantes se cancelarán, dándote $\langle E \rangle = E\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi\,dx = E$para ambos.