¿Qué límite para la suma de frecuencias de Matsubara?

Sí, para esta suma particular de Matsubara que mencionaste, tomar límites diferentes conducirá a dos resultados diferentes en 1. Esto se debe a que la suma en consideración no converge, lo que se puede ver en la siguiente integral (el límite continuo de la suma) considerando la divergencia ultravioleta (la gran$\omega$comportamiento)

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega\frac{1}{i\omega-\epsilon}\sim\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega\frac{1}{\omega}\rightarrow\infty.$$ Preguntar por el resultado de una suma esencialmente divergente ni siquiera conducirá a una respuesta definitiva. Introduciendo el factor $e^{i\omega_n\tau}$es controlar la convergencia de la suma, pero el resultado dependerá de cómo se elija controlar la convergencia, es decir $\tau\rightarrow0^+$(controlando el plano medio complejo izquierdo) o $0^-$(controlando el plano semicomplejo derecho).

Los dos resultados serán diferentes por un cambio de 1. Incluso esta diferencia "1" tiene un significado físico, lo que refleja la ambigüedad en la definición del número de partículas de Fermion. porque la suma

$$\frac{1}{\beta}\sum_n\frac{1}{i\omega_n-\epsilon}=G(\tau=0)=-\mathcal{T}_{\tau}\langle\psi(\tau=0)\bar{\psi}\rangle$$ corresponde a la función de Green en el tiempo imaginario 0, lo que significa físicamente contar el número de fermiones en el nivel de energía $\epsilon$. Aquí $\mathcal{T}_{\tau}$representa el operador de orden de tiempo. Sin embargo $\tau=0$puede entenderse como $\tau\rightarrow0^+$o $\tau\rightarrow0^-$(correspondiente a las dos formas de controlar la convergencia), lo que se vuelve muy crítico aquí porque el operador de ordenamiento temporal ordenará los dos casos de manera diferente: $$-\mathcal{T}_{\tau}\langle\psi(\tau=0^+)\bar{\psi}\rangle = -\langle\psi\bar{\psi}\rangle,$$ $$-\mathcal{T}_{\tau}\langle\psi(\tau=0^-)\bar{\psi}\rangle = \langle\bar{\psi}\psi\rangle.$$ De acuerdo con la relación de anticonmutación de los operadores de Fermión, tenemos $\bar{\psi}\psi=1-\psi\bar{\psi}$, por eso se espera que los dos resultados difieran en una constante 1. De hecho $\bar{\psi}\psi$cuenta el número de partículas, mientras que $\psi\bar{\psi}$cuenta el número de agujeros. Se convierte en un problema si definir el número de Fermión (con respecto al estado de vacío) como el número de partículas o como el número negativo del agujero. Esto depende de nuestra definición del estado de vacío: si tratamos el vacío como un estado sin partículas o como un estado lleno de partículas (como el concepto del mar de Fermi). Sabemos que ambas opciones son aceptables, del mismo modo que podemos definir el electrón como una partícula en el espacio vacío o como un agujero en el mar de Fermi anti-electrón. Debido a esta ambigüedad, es necesario especificar la elección cuando el $\tau\rightarrow0$se toma el límite. En conclusión, ambas formas de tomar el límite son legítimas, y la diferencia en los resultados es solo una cuestión de definición del estado de vacío de Fermion.

También existe una discrepancia similar en el caso de Bosonic, que nuevamente está relacionado con la definición del estado de vacío de Boson. En general, tal discrepancia radica en la divergencia de la suma de Matsubara en consideración. Si la suma misma converge a un resultado definido, entonces el resultado será único sin importar qué límite se elija tomar. Por ejemplo, si se intenta calcular

$$\frac{1}{\beta}\sum_n\frac{1}{(i\omega_n-\epsilon)^2},$$ el resultado siempre sera $\beta/4 \mathrm{sech}^2 (\beta\epsilon/2)$(para el caso Fermiónico) no importa $\tau\rightarrow0^+$o $0^-$.

Aquí voy a enumerar la receta para calcular la suma de Matsubara, es decir, cómo sumar la siguiente serie

$$\dfrac{1}{\beta}\sum_{n}g(i\omega_n),$$ dónde $\omega_n$son las frecuencias de Matsubara y n serán números enteros.

1. Continuación analítica: $$g(i\omega_n) \rightarrow g(z)$$
2. encuentra los polos$z_m$de$g(z)$y calcular $$\sum_{m}f(z_m)Res(g,z_m)$$

dónde$f(z)$puede ser la función de distribución de Fermi o Bose dependiendo de la cuestión de interés y tenga en cuenta que la$z_m$no permanecerá en el eje imaginario.

Por ejemplo:

$$\dfrac{1}{\beta}\sum_n\dfrac{1}{i\omega_n + E}=f(-E)Res(g(z),-E)=\dfrac{1}{e^{-\beta E}-1}$$ dónde $$\omega_n=\dfrac{2n\pi}{\beta}$$ son frecuencias bosónicas.