Función verde y conservación del momento

Question

Función verde y conservación del momento

loewe

Si se toma el espacio libre de la transformada de Fourier de la siguiente función de Green

GRAMO (X, t; X^{'}, t^{'}) = - i ⟨ T {ψ (X, t) ψ^{†} (X^{'}, t^{'})} ⟩

$G(x,t;x',t')=-i\langle T\{\psi(x,t)\psi^\dagger(x',t')\}\rangle$

uno termina con una expresión como

GRAMO (k, t; k^{'}, t^{'}) = - i ⟨ T {a_{k}^{} (t) a_{k^{'}}^{†} (t^{'})} ⟩

$G(k,t;k',t')=-i\langle T\{ a^{\phantom{\dagger}}_k(t)a^\dagger_{k'}(t')\}\rangle$

donde el $a$ los operadores crean/destruyen una partícula en los respectivos estados de momento.

Mis preguntas son las siguientes: Sé que en el espacio homogéneo se conserva la cantidad de movimiento y debe ser $k=k'$ en la expresión anterior.

¿Hay un argumento riguroso para ver esto por el cual uno puede evitar establecer $k=k'$ ¿manualmente?

¿Qué sucede con las funciones de Green cuando el espacio ya no es homogéneo (por ejemplo, en presencia de impurezas o en un cristal)? ¿Sigue siendo el FT de los GF un objeto "bueno"?

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Función verde y conservación del momento

flippiefanus · Answer 1

La conservación de la cantidad de movimiento es una consecuencia de la invariancia de cambio. (Gracias al teorema de Noether sabemos que las simetrías continuas están relacionadas con cantidades conservadas). La invariancia de desplazamiento significa que la función de Green solo puede depender del desplazamiento relativo. En otras palabras, (ignorando $t$ ) tendríamos

GRAMO (X, X^{'}) = GRAMO (X - X^{'}) .

$G(x,x') = G(x-x') .$ En este sentido

G (x)

$G(x)$ es la función de autocorrelación del campo. Ahora hay otro teorema, el teorema de Wiener-Khinchin que establece que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación es la densidad espectral de potencia

F {GRAMO (X)} = S (k) .

${\cal F}\{G(x)\} = S(k) .$ La densidad espectral de potencia es el módulo al cuadrado del espectro del campo

S (k) = | F {ψ (X)} |^{2} .

$S(k) = |{\cal F}\{ \psi(x) \}|^2 .$ Entonces vemos que contiene solo uno

k

$k$ , lo que implica que en efecto

k = k^{'}

$k=k'$ .

Ahora, ¿qué pasa con el $t$ que ignoramos? La naturaleza también es invariable en el tiempo, lo que conduce a la conservación de la energía. Por lo tanto, se puede seguir un análisis similar para los grados de libertad temporales.

Cuando el espacio no es homogéneo, de modo que se pierde la invariancia del cambio, también se perdería la conservación del momento. Entonces uno no sería capaz de igualar estas cantidades.

Función verde y conservación del momento

loewe

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flippiefanus

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