Beneficio de usar la función Matsubara Green

Buena pregunta.

No hay expansión de la serie de perturbaciones para la función de Green retardada porque para aplicar el teorema de Wicks necesita expresiones ordenadas en el tiempo. Por supuesto, podría simplemente escribir las funciones de Green ordenadas en el tiempo en el eje real e intentar obtener la función de Green retardada a partir de la expansión de perturbación correspondiente. Sin embargo, este camino se vuelve significativamente engorroso para temperaturas distintas de cero. Porque entonces necesita una expansión de perturbación adicional para los pesos de Boltzmann en su función de Green. Sin embargo, esencialmente es posible.

Aquí es donde entra en juego el poder de Matsubara.
(i) Matsubara fusiona el tiempo y la temperatura en una sola variable. A continuación, se realiza la serie de perturbaciones para este parámetro de tiempo imaginario.
(ii) Si bien esto ya es una gran simplificación, resulta que la función de Green de Matsubara y la función de Green retardada están relacionadas solo por la simple continuación analítica$i\omega_n \rightarrow \omega + i\delta$.

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es que Matsubara facilita los cálculos.

El formalismo de Matsubara es un truco inteligente para simplificar los cálculos. De hecho, cuando tratamos con perturbaciones que son homogéneas en el tiempo y el espacio (como las interacciones partícula-partícula), los cálculos se simplifican significativamente al realizar una transformada de Fourier en el tiempo y el espacio. Esto funciona muy bien para el formalismo de temperatura cero, pero falla a temperaturas finitas. El truco de Matsubara salva las ventajas de la transformada de Fourier, al considerar un intervalo de tiempo imaginario$[0, -i\beta]$(o, de manera equivalente, frecuencias imaginarias). Tenga en cuenta que, en cualquier caso, se trata de la función de Green ordenada en el tiempo , para la cual se puede aplicar el teorema de Wick (es cierto que algunos problemas se pueden resolver utilizando solo el Green retardado, pero generalmente se pueden resolver con métodos aún más simples).

Otro enfoque es usar el formalismo de Keldysh (también asociado con los nombres de Kadanoff y Baym), donde se toma el contorno de tiempo para correr a$t_0+\infty$, luego de vuelta a$t_0$y luego hacia abajo$t_0-i\beta$. Entonces uno puede descuidar esencialmente el$[0, -i\beta]$parte, y evite usar las frecuencias de Matsubara. Sin embargo, hay que pagar un precio: ahora hay que hacer un seguimiento de si las variables de tiempo están en las ramas hacia adelante o hacia atrás del contorno de tiempo, lo que requiere el uso de tres funciones de Green diferentes, por ejemplo, retardada, avanzada y Keldysh ($G^R, G^A, G^K$) o atrasados, adelantados y menores ($G^R, G^A, G^<$). Puede encontrar las referencias aquí (la revisión de Rammer & Smith podría servir como un curso intensivo sobre Keldysh).