Funciones de Green en tiempo real e imaginario

En tiempo real, uno puede calcular la función de dos puntos de una teoría dada usando

GRAMO ( X → , t ) = ⟨ Ω | ϕ ( X → , t ) ϕ † ( 0 , 0 ) | Ω ⟩ = ∫ ϕ ( 0 , 0 ) ϕ ( X → , t ) D ϕ   mi − i ℏ S [ ϕ ] ϕ ( X → ′ , t ′ ) ϕ ( X → , t )

donde los límites de la integral de trayectoria deben coincidir con el estado inicial y final.

Por otro lado, sé que la funcional generatriz Z

Z = ⟨ ϕ ′ | mi − i H T | ϕ ⟩ = ∫ ϕ ϕ ′ mi − i ℏ S [ ϕ ]

se puede identificar con la función de partición cuántica Z si evaluamos en tiempo imaginario t = − i τ y trazamos sobre el estado inicial y final

Z = ∑ ϕ ⟨ ϕ | mi − β H | ϕ ⟩ = ∫ ϕ ( 0 ) = ϕ ( β ) mi − β S mi [ ϕ ]

Entonces, la relación entre los valores esperados de la mecánica cuántica y la termodinámica es: continuar analíticamente t → − i τ con punto τ ∈ [ 0 , β ] , igualar los estados inicial y final y sumar sobre ellos. Ahora, en cada libro que veo, la función de Green en tiempo real

GRAMO ( X → , t ) = ⟨ Ω | ϕ ( X → , t ) ϕ † ( 0 , 0 ) | Ω ⟩

y el tiempo imaginario la función de Green

GRAMO ( X → , τ ) = 1 Z Tr [ mi − β H ϕ ( X → , τ ) ϕ † ( 0 , 0 ) ]

están relacionados por

GRAMO ( X → , t ) = GRAMO ( X → , i τ )

Lo que significa que básicamente podríamos definir solo una función GRAMO ( X → , z ) con z ∈ C que es igual a la Función Verde de QM de verdad z e igual al promedio termodinámico para imaginarios z .

mi pregunta es la siguiente

En el formalismo integral del Camino, había dos cosas que necesitábamos hacer para pasar de un promedio a otro; tenemos que ir al tiempo imaginario y tenemos que hacer algo con el rastro. En las funciones de Green, sin embargo, parece que ir al tiempo imaginario es suficiente, como si la traza se hiciera cargo automáticamente. ¿Cómo es eso?

Entonces, la pregunta (v1) es en realidad solo sobre el procedimiento de seguimiento, ¿no sobre la rotación de Wick?
La cuestión es que en el formalismo de las integrales de trayectoria, los valores esperados cuánticos y los promedios termodinámicos pueden identificarse continuando analíticamente hasta el tiempo imaginario Y cambiando las condiciones de contorno en la integral de trayectoria. Sin embargo, para las funciones de Green parece que solo basta con ir a un tiempo imaginario... Si tuviera que expresar las funciones de Green como integrales de trayectoria, no veo cómo se fijan también las condiciones de contorno.
Mi entendimiento es que, para hacer la teoría del campo de temperatura finita, uno va a la firma euclidiana (rotación de la mecha) y compacta la dirección del tiempo, cuyo período da la temperatura inversa β . Luego, uno calcula la función de partición y la mecha gira de regreso al tiempo real, su última ecuación, GRAMO ( X → , τ ) = 1 Z Tr [ mi − β H ϕ ( X → , τ ) ϕ † ( 0 , 0 ) ] . Después de girar la mecha hacia atrás, no hace nada con la condición límite periódica que impuso mientras trabajaba con el tiempo imaginario.

Respuestas (1)

@levitt casi ha proporcionado la respuesta correcta en su comentario. Aunque creo que también debería enfatizar algo que probablemente insinuó implícitamente en su comentario anterior: que la igualdad GRAMO ( X → , t ) = GRAMO ( X → , i t ) como está escrito en la pregunta original es incorrecto (aparte del error tipográfico donde el argumento de GRAMO es τ y no t ).

GRAMO ( X → , i t ) calcula la función de correlación en tiempo real en una teoría de campo a temperatura finita mientras GRAMO ( X → , t ) (como está escrito en la primera ecuación de la pregunta) calcula la función de correlación en tiempo real a temperatura cero. Estas dos funciones de correlación son diferentes. Puede obtener la función de correlación de temperatura cero tomando límite β → ∞ GRAMO ( X → , i t ) . debería ser cierto que GRAMO ( X → , t ) = límite β → ∞ GRAMO ( X → , i t ) .

Nota: Todas las afirmaciones anteriores se hacen asumiendo que los operadores están ordenados de manera consistente.

En la última ecuación que escribiste, ¿es una igualdad? es decir, ¿no están relacionados por una rotación de Wick y, por lo tanto, no son iguales?
Quieres decir GRAMO ( X → , t ) = límite β → ∞ GRAMO ( X → , i t ) ? Es una declaración exacta. La rotación de Wick entra como argumento imaginario de GRAMO .
Veo. Entonces, la rotación de Wick solo funciona para una temperatura infinita, ¿es así? esto es para decir GRAMO ( t + i d ) = GRAMO ( i t ) solo es cierto cuando la integral es de infinito a infinito, ya que en este caso asumimos que el integrando tiende a cero lo suficientemente rápido. A temperatura finita, la integral en el eje imaginario es periódica, por lo tanto, no puede hacer la rotación de Wick.
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