¿Qué justifica la dependencia de la constante de renormalización del acoplamiento en el regulador de regularización dimensional?

Question

¿Qué justifica la dependencia de la constante de renormalización del acoplamiento en el regulador de regularización dimensional?

Física
renormalización
teoría cuántica de campos
regularización-dimensional

yossarian

Quiero aclarar algunas cuestiones sobre la renormalización en el $\bar{MS}$ esquema que pasé por alto cuando me enteré por primera vez de estas cosas. Estoy siguiendo http://arxiv.org/abs/1411.7853 sección 3.1. Se considera la parte del gluón del QCD Lagrangian y se escriben el acoplamiento renormalizado y el campo del gluón

\begin{matrix} (10) & gramo = {\bar{m}}^{ϵ} Z_{gramo} {gramo}_{R} A_{m} = \sqrt{Z_{A}} A_{m}^{R} \end{matrix}

$g=\bar{\mu}^{\epsilon}Z_gg_R\qquad{}A_{\mu}=\sqrt{Z_A}A_{\mu}^R\tag{10}$

dónde $\bar{\mu}=\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}e^{\gamma_E/2}$ . Inmediatamente se establece que la constante de renormalización toma la forma

\begin{matrix} (13) & Z_{gramo} = 1 + \frac{α_{s} (m)}{4 π} \frac{Z_{11}}{ϵ} + (\frac{α_{s} (m)}{4 π})^{2} (\frac{Z_{22}}{ϵ^{2}} + \frac{Z_{21}}{ϵ}) + (\frac{α_{s} (m)}{4 π})^{3} (\frac{Z_{33}}{ϵ^{3}} + \frac{Z_{32}}{ϵ^{2}} + \frac{Z_{31}}{ϵ}) + \dots \end{matrix}

$Z_g=1+\frac{\alpha_s(\mu)}{4\pi}\frac{Z_{11}}{\epsilon}+\bigg(\frac{\alpha_s(\mu)}{4\pi}\bigg)^2\bigg(\frac{Z_{22}}{\epsilon^2}+\frac{Z_{21}}{\epsilon}\bigg)\\+\bigg(\frac{\alpha_s(\mu)}{4\pi}\bigg)^3\bigg(\frac{Z_{33}}{\epsilon^3}+\frac{Z_{32}}{\epsilon^2}+\frac{Z_{31}}{\epsilon}\bigg)+\ldots{}\tag{13}$ No veo por qué debería ser obvio que

Z_{g}

$Z_g$ debe tomar este formulario. ¿Qué justifica esto?

una mente curiosa

Lo explican directamente después de esa ecuación en una nota al pie: "Las cantidades físicas pueden hacerse finitas incluso si incluimos términos de orden $\epsilon^0,\epsilon^1,\epsilon^2$ en $Z_i$ . Esto corresponde a tomar otra prescripción de renormalización." y "La razón por la cual el esquema MS se usa con más frecuencia que otros esquemas es que las series empíricamente perturbadoras para varias cantidades físicas exhiben buenos comportamientos de convergencia". , es decir, esta forma de la constante es la definición de el esquema MS.

yossarian

@ACuriousMind, pero ¿podemos definirlo de esta manera? Quiero decir, ¿podemos elegir lo que queramos para el

Z

$Z$ ?

Andrés

@AleksandrSokolov Es por eso que debe elegir un esquema para corregir la ambigüedad en lo que elige

Z

$Z$ . El punto de MSbar es que solo resta la pieza divergente (por lo que no hay piezas finitas en

Z

$Z$ como envías

ϵ \to 0

$\epsilon\rightarrow 0$ ). Esta es una elección. Sin embargo, la dependencia del esquema desaparece de cualquier cantidad física, lo que se garantiza al establecer ecuaciones RG. Además, tienes razón en la forma de

Z

$Z$ no es obvio sin hacer un poco de trabajo, han omitido el cálculo de los diagramas de bucle relevantes (lo cual es perfectamente aceptable ya que no hay nuevas ideas en ese cálculo).

Respuestas (1)

¿Qué justifica la dependencia de la constante de renormalización del acoplamiento en el regulador de regularización dimensional?

Lo explican directamente después de esa ecuación en una nota al pie: "Las cantidades físicas pueden hacerse finitas incluso si incluimos términos de orden $\epsilon^0,\epsilon^1,\epsilon^2$ en $Z_i$ . Esto corresponde a tomar otra prescripción de renormalización." y "La razón por la cual el esquema MS se usa con más frecuencia que otros esquemas es que las series empíricamente perturbadoras para varias cantidades físicas exhiben buenos comportamientos de convergencia". , es decir, esta forma de la constante es la definición de el esquema MS.
@ACuriousMind, pero ¿podemos definirlo de esta manera? Quiero decir, ¿podemos elegir lo que queramos para el $Z$ ?
@AleksandrSokolov Es por eso que debe elegir un esquema para corregir la ambigüedad en lo que elige $Z$ . El punto de MSbar es que solo resta la pieza divergente (por lo que no hay piezas finitas en $Z$ como envías $\epsilon\rightarrow 0$ ). Esta es una elección. Sin embargo, la dependencia del esquema desaparece de cualquier cantidad física, lo que se garantiza al establecer ecuaciones RG. Además, tienes razón en la forma de $Z$ no es obvio sin hacer un poco de trabajo, han omitido el cálculo de los diagramas de bucle relevantes (lo cual es perfectamente aceptable ya que no hay nuevas ideas en ese cálculo).

Nogueira · Answer 1

La regularización no es más que una deformación en la teoría tanto en la escala UV como en la escala IR, dependiendo de la divergencia a la que te enfrentes. No importa cuán precisa sea la deformación, el requisito es que las predicciones físicas que conectan los eventos en su escala habitual deben ser insensibles a estas deformaciones (teoría renormalizable). Entonces, si su elección de regularización le da predicciones finitas en su escala de interés, esto es genial y la regularización está bien. (ver notas de esta lección)

Este $Z_g$ es una de las opciones que claramente le da resultados finitos al limitar las integrales de ciclo mediante una regularización dimensional (vea también este artículo histórico de G,'t Hooft ) de modo que cada ciclo contribuya como:

\sim (\frac{α_{s} (m)}{4 π})^{norte} \frac{1}{ϵ^{metro}}

$\sim\bigg(\frac{\alpha_s(\mu)}{4\pi}\bigg)^n\frac{1}{\epsilon^m}$ dónde

n

$n$ es el número de vértices y

m

$m$ el número de líneas internas internas en los diagramas feynamn correspondientes que desea regularizar.

Las líneas internas siempre salen de los vértices, y al menos dos de ellos.
@innisfree, puede ver esto a partir de la característica de Euler de los diagramas de feynman. Las caras son bucles y los bordes son líneas.
Sí, la cantidad de bucles, perdón por este error... Me confundí con los nombres...

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