¿Importa la medida angular en la regularización dimensional?

Trabajamos en el espacio-tiempo euclidiano.

OP está tratando de comparar las dos recetas

$$\tag{A} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \mu^{a\epsilon}\int_{\mathbb R^{da}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^dp_1\cdots\mathrm d^dp_a$$ y $$\tag{B} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \tilde\mu^{a\epsilon}\int_{\mathbb R^{na}} \frac{f(p_1,\dots,p_a)}{|p_1|^\epsilon\cdots|p_a|^\epsilon}\, \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a$$ dónde $(n,a)\in\mathbb N^2$es un par de enteros; $d\in\mathbb C$es un parámetro complejo; $\epsilon:=n-d$; y $(\mu,\tilde\mu)\in\mathbb R^2$es un par de parámetros reales (escalas de masa).

Hacemos hincapié en que$(\mathrm A)$es la prescripción estándar de regularización dimensional . El caso$(\mathrm B)$es bastante similar a la regularización analítica de Speer , pero no es equivalente.

Si$f$depende de los momentos sólo a través de su cuadrado,

$$f(p_1,\dots,p_a)=f(p_1^2,\dots,p_a^2)$$ entonces es fácil comprobar que las prescripciones anteriores son equivalentes a $$\tag{A} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \mu^{a\epsilon}\Omega_d^a\int_{\mathbb R^{a}} p_1^{d-1}\cdots p_a^{d-1}f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm dp_1\cdots\mathrm dp_a$$ y $$\tag{B} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \tilde\mu^{a\epsilon}\Omega_n^a\int_{\mathbb R^{a}} p_1^{n-1-\epsilon}\cdots p_a^{n-1-\epsilon}f(p_1,\dots,p_a)\, \mathrm dp_1\cdots\mathrm dp_a$$ y vemos que las dos prescripciones se correlacionan entre sí bajo $$\tilde\mu^\epsilon\to \frac{\Omega_d}{\Omega_n}\mu^\epsilon$$

Como$\mu,\tilde\mu$son arbitrarias, las dos prescripciones son equivalentes.

Si$f$contiene una estructura espinorial no trivial, la equivalencia sigue siendo correcta si estamos de acuerdo en que las huellas en$d$las dimensiones satisfacen

$$\text{tr}(1)=2^{\lfloor n/2\rfloor}$$ para todos $d\in\mathbb C$.

Por otro lado, si$f$contiene una estructura de Lorentz no trivial (es decir, si no es un escalar de Lorentz o depende de los momentos no solo a través de sus cuadrados, sino también de los productos escalares$p_i\cdot p_j$), entonces la correspondencia se rompe . Una forma sencilla de ver esto es que, de acuerdo con la prescripción estándar de regularización dimensional tenemos

$$p^\mu p^\nu\to\frac{\delta^{\mu\nu}}{d}p^2$$ mientras que en la prescripción modificada tenemos $$p^\mu p^\nu\to\frac{\delta^{\mu\nu}}{n}p^2$$

Estos no son equivalentes, y no pueden hacerse equivalentes modificando cualquiera de las prescripciones (no podemos definir$p^\mu p^\nu$ser$\frac{\delta^{\mu\nu}}{n}p^2$en$d$dimensiones, porque manipulaciones algebraicas como contracciones y desplazamientos en la variable de integración darían lugar a incoherencias). Si bien es cierto que la parte divergente es la misma en ambos enfoques, no es necesario que la parte finita.

Más generalmente, las dos prescripciones difieren por una función racional de la forma

$$\frac{P(n)}{P(d)}$$ dónde $P$es un polinomio. Este polinomio no es, en general, el mismo para todos los diagramas de Feynman que contribuyen a un cierto orden en la teoría de perturbaciones (ver, por ejemplo, el caso del escalar QED, cf. ref1, capítulo 65). Por lo tanto, no se espera una cancelación de la $\xi$-términos dependientes, y se viola la identidad del pupilo. Esta anulación se mantiene en el caso de regularización dimensional, por lo que las dos prescripciones no son equivalentes.

Además, no solo la simetría de calibre es anómala en el esquema de OP, la simetría axial no lo es. De hecho, si$n$es par, podemos definir la matriz axial$\gamma_5$. Esta matriz no tiene rastro$\text{tr}(\gamma_5)=0$para cualquier número de dimensiones del espacio-tiempo, por lo que la divergencia de la corriente axial se desvanece (en la regularización dimensional, este argumento falla porque$\gamma_5$está mal definido para complejo$d$; pero en la prescripción de OP el número de dimensiones de espacio-tiempo$n$está arreglado). Como la anomalía axial no desaparece por ningún (incluso)$n$(cf. este post del PSE ), la regularización del OP no es equivalente a la regularización dimensional.

Finalmente, cabe mencionar que existe una prescripción intermedia,

$$\tag{C} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \hat\mu^{a\epsilon}\frac{\Omega^a_d}{\Omega_n^a}\int_{\mathbb R^{da}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^dp_1\cdots\mathrm d^dp_a$$ que es equivalente a la regularización dimensional. Esta prescripción deja la medida angular como la de $n$en lugar de $d$, por lo que está bastante cerca de lo que buscaba OP. Pero el integrando se evalúa en complejo $d$en lugar de fijo $n$, por lo que es lo mismo que la regularización dimensional (o más bien, se mapea en ella bajo el cambio de escala de la escala de masas antes mencionado).

Referencias.

1. QFT de Srednicki.