Renormalización sin masa de la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 y λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Question

Renormalización sin masa de la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 y λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Física
energía propia
renormalización
Feynman-diagramas
teoría cuántica de campos
regularización-dimensional

Espaguetificación cuántica

En la renormalización de $\phi^4$ teoría la integral:

I = \int \frac{d^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{(k^{2} + {METRO}_{0}^{2}) ((k - pag)^{2} + {METRO}_{0}^{2})}

$I=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{1}{(k^2+M_0^2)((k-p)^2+M_0^2)}$ aparece durante la renormalización, donde estoy tomando

M_{0}

$M_0$ ser la masa desnuda. En el caso sin masa, la masa renormalizada es cero,

M = 0

$M=0$ . Si quiero encontrar la función de vértice desnudo en términos de parámetros renormalizados al orden más bajo, puedo ver dos formas posibles de tratar

I

$I$ :

Expandir $I$ al orden más bajo inicialmente que desde $M_0 =0+\mathcal{O}(\lambda)$ se convierte en: $I = \int \frac{d^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{k^{2} (k - pag)^{2}}$ $I=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{1}{k^2(k-p)^2}$ Esto me da un valor distinto de cero.
Alternativamente podría calcular $I$ con $M_0$ y luego expandir. Esto me da (en $D=4-2\varepsilon$ dimensiones): $I \propto {METRO}_{0}^{- ε}$ $I\propto M_0^{-\varepsilon}$ $\sim λ^{- ε}$ $\sim \lambda^{-\varepsilon}$ Ahora, por lo que recuerdo, podemos tratar $\lambda$ como arbitrariamente pequeño y como tal yo diría que esto debería ir a $\infty$ .

Con mi interpretación de $\lambda^{-\varepsilon}$ por lo tanto, los dos métodos no concuerdan. ¿Qué método es la forma correcta de abordar esto y cómo debo interpretar la cantidad? $\lambda^{-\varepsilon}$

Espaguetificación cuántica

@marmot En realidad, esto es más preocupante, ya que no solo ya no tenemos una expansión de perturbación en este último caso, obtenemos términos de la forma

λ^{- a}

$\lambda^{-a}$ para arbitrariamente grande

a

$a$ si llevamos la expansión en términos de

λ

$\lambda$ a orden superior.

usuario178876

Lo siento, no puedo entender la frase tan larga de tu último comentario. Pero su pregunta dice ahora que obtiene infinito en ambos cálculos, y se pregunta por qué los resultados no concuerdan. (Por supuesto, estoy de acuerdo en que los resultados no son los mismos, pero me pregunto cuál es la pregunta. La primera integral también diverge si resucitas

M_{0}

$M_0$ .)

Espaguetificación cuántica

@marmot (ignore mi último comentario, no fue muy importante). El problema es que creo que deberíamos esperar el mismo resultado para el coeficiente de

λ^{0}

$\lambda^0$ en ambos casos. Este no es el caso. Además, si ponemos

λ = 0

$\lambda=0$ en este último caso (equivalente a poner

M_{0} = 0

$M_0=0$ ) no volvemos al resultado del primer caso.

usuario178876

Todavía estoy luchando por entender la pregunta. Pero dejame decirte esto. Está calculando la corrección de una masa al cuadrado, y seguramente esto debería tener una dimensión de masa dos. Por otro lado, está eliminando todas las cantidades con dimensión de masa (de modo que su teoría se vuelve invariante de escala en el nivel clásico). Si tuviera que utilizar la regularización por corte, la corrección sería proporcional a

Λ^{2}

$\Lambda^2$ . En la regularización dimensional se vuelve proporcional a

μ^{2}

$\mu^2$ . Pero tiene razón en que no es trivial ver esto, pero es bien conocido (cf. potencial de Coleman-Weinberg).

Espaguetificación cuántica

@marmot Intentaré hacer mi pregunta más explícita; ¿Por qué los dos métodos no concuerdan y cuál da el coeficiente correcto en orden?

λ^{0}

$\lambda^0$ .

usuario178876

Bueno, supongo que querrás refrescar tus recuerdos de la derivación Coleman-Weinberg. Peskin afirma hacer el cálculo en la regularización dimensional, pero en mi humilde opinión, hace trampa. Me interesaría mucho aprender a hacer esto sin hacer trampa.

Respuestas (1)

Renormalización sin masa de la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 y λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

@marmot En realidad, esto es más preocupante, ya que no solo ya no tenemos una expansión de perturbación en este último caso, obtenemos términos de la forma $\lambda^{-a}$ para arbitrariamente grande $a$ si llevamos la expansión en términos de $\lambda$ a orden superior.
Lo siento, no puedo entender la frase tan larga de tu último comentario. Pero su pregunta dice ahora que obtiene infinito en ambos cálculos, y se pregunta por qué los resultados no concuerdan. (Por supuesto, estoy de acuerdo en que los resultados no son los mismos, pero me pregunto cuál es la pregunta. La primera integral también diverge si resucitas $M_0$ .)
@marmot (ignore mi último comentario, no fue muy importante). El problema es que creo que deberíamos esperar el mismo resultado para el coeficiente de $\lambda^0$ en ambos casos. Este no es el caso. Además, si ponemos $\lambda=0$ en este último caso (equivalente a poner $M_0=0$ ) no volvemos al resultado del primer caso.
Todavía estoy luchando por entender la pregunta. Pero dejame decirte esto. Está calculando la corrección de una masa al cuadrado, y seguramente esto debería tener una dimensión de masa dos. Por otro lado, está eliminando todas las cantidades con dimensión de masa (de modo que su teoría se vuelve invariante de escala en el nivel clásico). Si tuviera que utilizar la regularización por corte, la corrección sería proporcional a $\Lambda^2$ . En la regularización dimensional se vuelve proporcional a $\mu^2$ . Pero tiene razón en que no es trivial ver esto, pero es bien conocido (cf. potencial de Coleman-Weinberg).
@marmot Intentaré hacer mi pregunta más explícita; ¿Por qué los dos métodos no concuerdan y cuál da el coeficiente correcto en orden? $\lambda^0$ .
Bueno, supongo que querrás refrescar tus recuerdos de la derivación Coleman-Weinberg. Peskin afirma hacer el cálculo en la regularización dimensional, pero en mi humilde opinión, hace trampa. Me interesaría mucho aprender a hacer esto sin hacer trampa.

Espaguetificación cuántica · Answer 1

Bien, volviendo a esto después de un breve descanso del trabajo, me doy cuenta de que cometí un error al escribir la publicación. La expresión que escribí para el caso (2) es incorrecta y de hecho deberíamos tener eso:

I \propto \int_{0}^{1} (X (1 - X) {pag}^{2} + {METRO}_{0}^{2})^{D / 2 - 2} d X

$I \propto \int^1_0 (x(1-x)p^2+M_0^2)^{D/2-2}dx$ Básicamente, esto anula mi pregunta y aclara la confusión que tenía al respecto. Lo siento.

Renormalización sin masa de la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 y λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

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usuario178876

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