¿Cómo puede la regularización dimensional "continuar analíticamente" a partir de un conjunto discreto?

El procedimiento de regularización dimensional para integrales UV-divergentes generalmente se describe como primero evaluando la integral en dimensiones lo suficientemente bajas para que converja, luego "continuando analíticamente" este resultado en el número de dimensiones d . No entiendo cómo esto podría funcionar conceptualmente, porque una integral d-dimensional yo d sólo se define cuando d es un número entero mayor o igual que 1, por lo que el dominio de yo d es discreto, y no hay forma de continuar analíticamente una función definida en un conjunto discreto.

Por ejemplo, en el libro QFT de Srednicki, la ecuación clave de la que provienen todos los resultados de dim reg es (pág. 101) "... el área Ω d de la esfera unitaria en d dimensiones... es Ω d = 2 π d / 2 Γ ( d 2 ) ; (14.23)". (Nota: vea la edición a continuación.) Pero esto es, en el mejor de los casos, muy engañoso. El área de la esfera unitaria en d dimensiones es 2 π d / 2 ( d 2 − 1 ) ! si d es par y ≥ 2 , es 2 d π d − 1 2 ( d − 1 2 ) ! ( d − 1 ) ! si d es raro y ≥ 1 , y no es nada en absoluto si d no es un entero positivo. Estas fórmulas concuerdan con las de Srednicki cuando d es un número entero positivo, pero evitan dar la impresión engañosa de que hay un valor natural para asignar a Ω d cuando no lo es

Más allá de las objeciones puramente matemáticas, hay una ambigüedad práctica en este marco: ¿cómo se interpola la función factorial al plano complejo? Srednicki elige hacerlo a través de la función gamma de Euler sin ninguna explicación. Pero hay otras posibles interpolaciones que parecen igualmente naturales, por ejemplo, la función gamma de Hadamard o la función factorial de Luschny. (Consulte http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html para obtener más ejemplos). ¿Por qué no usarlos?

De hecho, estas dos funciones alternativas son analíticas en todas partes, por lo que no puede usarlas para extraer la estructura de polos de la integral, que necesita para cancelar los infinitos UV. Para mí, esto sugiere que los resultados finales de dim reg pueden depender en gran medida de su elección de esquema de interpolación, por lo que requiere una justificación para usar la función gamma de Euler. ¿Podríamos demostrarle a un escéptico del dim reg que todos los resultados de los observables físicos son independientes del esquema de interpolación? (Tenga en cuenta que este es un requisito más fuerte que mostrar que son independientes del parámetro de masa ficticio m ~ .)

(Sé que el teorema de Bohr-Mollerup muestra que la función gamma de Euler tiene ciertas propiedades "agradables", pero no veo por qué esas propiedades son útiles para hacer dim reg.)

No estoy buscando un tratamiento hipertécnico de dim reg, solo una imagen conceptual de lo que significa continuar analíticamente una función del conjunto discreto de números enteros positivos.

Editar: parece que los detalles de exactamente qué resultados de la teoría de campo dependen y no dependen de la elección del esquema de regularización no se comprenden bien; ver este documento para una discusión.

Editar: kaylimekay señala correctamente a continuación que el relevante Γ ( d ) término es en realidad el que proviene de la integral radial, no el que proviene de la integral angular. Pero no creo que esto realmente ayude a resolver el problema en absoluto.

El problema básicamente se reduce a una notación ambigua; dos funciones de "exponenciación" cualitativamente diferentes usan la misma notación. Para ser explícito, les daré dos nombres diferentes.

La primera es la función mi X pags norte a t : R × norte → R definido por la habitual "multiplicación repetida" que aprendemos en Álgebra 1 (o cuando sea):

mi X pags norte a t ( X , norte ) := X × X × ⋯ × X ⏟ norte  veces .

La segunda es la función más complicada. mi X pags R mi a yo : R + × R → R + (donde el exponente puede ser un número real arbitrario) que aprendemos en Cálculo 1 (o cuando sea). Hay varias formas equivalentes de definir esta función, pero para ser más concretos tomaremos

mi X pags R mi a yo ( X , y ) := Exp ⁡ ( y en ⁡ ( X ) ) ,
con Exp ⁡ ( z ) definida como la solución única al problema de valor inicial Exp ′ ⁡ ( z ) ≡ Exp ⁡ ( z ) ,   Exp ⁡ ( 0 ) = 1 , y en ⁡ ( X ) definida como su inversa.

El parámetro que kaylimekay llama α proviene del uso de la fórmula de Feynman para reescribir el producto de α términos diferentes, y siempre es un número natural. lo renombraré norte para dejar esto claro. Reescrita en notación más explícita, la integral radial relevante es

∫ 0 ∞ d k mi X pags norte a t ( k , d − 1 ) mi X pags norte a t ( k 2 + Δ 2 , norte ) .

No me queda claro por qué podemos extender mi X pags norte a t a mi X pags R mi a yo ; como se explicó anteriormente, esta no es una continuación analítica legítima porque parte de un conjunto discreto. Y también hay otras extensiones posibles; por ejemplo, sería igualmente correcto escribir la expresión de kaylimekay como

∫ 0 ∞ d k k ( d − 1 ) porque ⁡ ( 2 π d ) ( k 2 + Δ 2 ) norte ,
pero escribirlo de esta manera sugeriría una extensión diferente al dominio real para d , que (por lo que puedo decir) podría darle diferentes respuestas finales después de la continuación analítica.

He borrado algunos comentarios fuera de tema.
¿Has oído hablar de la función Gamma? Le permite continuar analíticamente los factoriales lejos de los enteros.
Oye, sé que este es un hilo antiguo, pero ¿has considerado que la estructura de polos de la función gamma está implícita en la relación funcional (n+1)!=(n+1)*n! ? Estoy bastante seguro de que si desea que esto se cumpla para todo el plano complejo, entonces necesariamente obtendrá polos simples en el origen y los enteros negativos.
@AfterShave Cierto. pero no veo que tiene que ver eso con mi pregunta. Además, la relación funcional Γ ( z ) = z Γ ( z − 1 ) se cumple para un número infinito de funciones distintas de la función gamma de Euler.
Lo que digo es que tal vez solo importa esta estructura de polos cuando se realiza la regularización dimensional, ya que solo estamos realmente interesados ​​en los valores de las funciones infinitesimalmente cercanos a las dimensiones integrales.
La relación funcional fija el orden y el residuo de los polos que creo que es todo lo que importa para la renormalización. Cualquier función gamma que satisfaga la relación tendrá los mismos polos y por lo tanto dará los mismos resultados.
No es del todo cierto que "no hay forma de continuar analíticamente una función definida en un conjunto discreto". Es posible hacerlo si uno tiene una limitación en el crecimiento de la función. Ver en particular en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem No aplica para Γ que crece demasiado rápido, pero da unicidad para funciones que crecen como máximo exponencialmente. Es el principal truco utilizado por Selberg para calcular su integral.

Respuestas (3)

Todo esquema de regularización es algo arbitrario. Hay tres esquemas de regularización populares cuando se trata de integrales de trayectoria y sus integrales divergentes perturbativas asociadas: división de tiempo, regularización de modo y regularización dimensional.

  • La segmentación de tiempo es el procedimiento habitual utilizado para derivar la integral de trayectoria, y es la discretización del tiempo en intervalos de tiempo finitos.

  • La regularización de modo es esencialmente un corte UV, es decir, el truncamiento de los modos de alta energía en la expansión de Fourier del camino.

  • La regularización dimensional se realiza como usted describió explotando (una) generalización del factorial a números complejos.

En cualquier caso, la regularización es un procedimiento limitante, se introduce un parámetro finito (o diferente de cero) de tal manera que todas las integrales se vuelven finitas, luego se manipulan de manera que el resultado es el límite cuando el parámetro tiende a infinito. (cero) sigue siendo finito. En principio, y en la práctica, el resultado final puede depender del esquema elegido. Por lo tanto, es necesario introducir contratérminos de manera que todos los resultados concuerden entre sí. Esto se hace algo ad hoc, pero afortunadamente los contratérminos se fijan en un (segundo) orden bajo en la expansión de la perturbación en muchas situaciones.

Los procedimientos elegidos son todos, en cierto sentido, arbitrarios , ya que (al menos por el momento) no existe una definición matemática satisfactoria e inequívoca de las integrales de trayectoria involucradas/expansiones perturbativas QFT. La regularización dimensional a menudo se prefiere esencialmente por una razón (hasta donde yo sé), es la más fácil de manejar: el contratérmino resultante, de hecho, es covariante relativista (y eso es importante en las teorías relativistas/en presencia de un fondo curvo ) y los vértices adicionales que provienen del contratérmino en bucles superiores son fáciles de calcular.

Ahora supongo que también podría ser posible regularizar usando una de las otras "extensiones complejas" del factorial que mencionó, pero con toda probabilidad los contratérminos resultantes serían diferentes y tal vez no covariantes.

Para una discusión más detallada sobre los esquemas de regularización, sugiero leer este libro de Bastianelli y van Nieuwnehuizen.

La invariancia de calibre también es una propiedad importante de dim reg.
¿Soy solo yo o ambas respuestas básicamente ignoran la pregunta y le dicen al OP otras cosas que probablemente ya sabe? El OP afirma que hay otra función compleja que coincide con el entero d que tiene otra estructura de Polo. No está hablando de otra forma de hacer la regularización UV. (continúa)
La diferencia entre continuaciones no sería como una constante arbitraria que necesita ser fijada (como una masa medida). Y esto no parece ser como usar otro esquema. Esto realmente daría otro resultado. ¿El OP es incorrecto? ¿O yuggib está diciendo que tal procedimiento sería realmente equivalente? En ese caso, debería tener más claro por qué. ¿Es solo que si usamos una continuación analítica sin polos obtenemos las mismas amplitudes de dispersión finitas sin incluir los contratérminos?

En la regularización dimensional, d es un número complejo, no una verdadera dimensión. los d Las integrales -dimensionales de una función racional se definen para cualquier complejo. d con una parte real suficientemente negativa (el umbral depende del integrando) y, por lo tanto, puede continuarse analíticamente hasta una función (probablemente meromórfica) para todos d . Para obtener una definición concisa y matemáticamente sólida, consulte la referencia a Etingov en el artículo de wikipedia sobre regularización dimensional .

Para d = 4 normalmente hay un polo en las contribuciones individuales de los diagramas de Feynman, pero ninguno en la suma que define las contribuciones completas a los elementos de la matriz S en cualquier orden fijo.

Esta es una pregunta muy antigua, pero no parece que las respuestas existentes lo hayan tomado en serio. Veo que todavía está activo, así que intentaré reactivar este hilo, aunque tal vez haya respondido esta pregunta por sí mismo en el intervalo. :)

Hay un aspecto de tu publicación con el que no estoy de acuerdo, así que lo abordaré primero. Usted dice que la ecuación clave de la que proviene todo dim reg es el resultado del área de la d -esfera, y luego me pregunto qué pasaría si uno usara una extensión diferente del factorial a valores no enteros.

Sin embargo, esto d -el área de la esfera no es el factor importante para el cálculo de cualquier diagrama de bucle. De todos modos, este factor es finito para cualquier número positivo de dimensiones, incluidos números de dimensiones lo suficientemente grandes como para que la integral de bucle diverja.

Dicho esto, estoy de acuerdo en que tiene razón cuando dice que no hay una forma canónica de extender esta función sobre los números enteros a una función sobre los números complejos. Como usted dice, hay otras elecciones que uno podría hacer, y sin que se introduzca algún principio restrictivo adicional, no hay forma de elegir. Pero, tampoco importa. No importa porque este factor siempre es finito, así que cuando tomamos el límite de d acercándose a cualquier número entero positivo, siempre convergerá al valor correcto, independientemente de la extensión que haya utilizado.

El factor realmente importante es la parte radial de la integral de bucle. Esta es la parte que diverge si d Es demasiado largo.

Aquí hay una coincidencia graciosa en la que no había pensado específicamente hasta que vi tu pregunta. Resulta que tanto el factor de área superficial como el factor radial de la integral de bucle pueden expresarse en términos de la función gamma. Así que puede parecer que tienen mucho en común. Pero, de hecho, los problemas que rodean a estos dos factores son muy diferentes.

Pensemos en la parte radial de la integral de bucle, que es la parte que puede ser divergente. que tiene la forma

∫ 0 ∞ d k k d − 1 ( k 2 + Δ 2 ) α .
En la formulación original de la integral de bucle, había una medida como d d k y esta es solo la parte radial. Y, por supuesto, en esa formulación original, no entero d no tiene sentido. Pero la parte radial escrita como arriba está bien definida para cualquier d tal que 0 < R mi   d < 2 α . (Estoy asumiendo Δ ≠ 0 , o también tenemos que hablar sobre divergencias IR). Por lo tanto, puedo usar este formulario para calcular un valor para cualquier valor de d y eso proporciona una extensión única del resultado lejos de los números enteros en la región convergente. Si usara una de las muchas otras extensiones posibles del factorial, obtendría un valor diferente de esos números enteros. (La distinción importante aquí, en mi opinión, es que la formulación física original del problema automáticamente nos dio una forma única de definir los valores lejos de los números enteros, de modo que eso es lo que deberíamos usar). [ Editar: esta declaración no abordar rigurosamente la pregunta original. ]

Ahora, nuevamente, si solo fuéramos a considerar valores de d donde converge la integral original, esto sería una distinción académica, porque siempre tomaríamos el límite y obtendríamos el mismo resultado independientemente de la extensión que usemos. Pero en realidad nos interesa precisamente ir más allá, a valores de d donde el original no converge. Para hacer eso, necesitamos continuar analíticamente la función definida en la región convergente. Pero un teorema del análisis complejo nos dice que una continuación analítica es única si es analítica en un subconjunto abierto de la región que desea cubrir. Entonces, para extender el valor de la integral a la región del complejo d plano donde diverge, necesitamos comprometernos con alguna forma que se mantenga no solo en los enteros convergentes, sino en alguna región extendida alrededor de ellos. ( Eso es lo que nos permite hacer la forma integral anterior, y esa forma está inspirada únicamente en la integral física original). [ Misma edición ]

Gracias por la respuesta reflexiva y por captar que el relevante Γ ( d ) término proviene de la integral radial en lugar de la angular. Pero no creo que esto realmente haya abordado mi problema principal; en particular, no estoy de acuerdo con usted en que la forma que escribe arriba está " inspirada únicamente en la integral física original". Ver mi edición a mi pregunta.
Además, parece que la condición para la convergencia no es R mi ( d ) < 2 α + 1 , pero en lugar R mi ( d ) ∈ ( 0 , 2 α ) .
@tparker Gracias, aparentemente a veces no puedo hacer aritmética. También fui descuidado y no consideré d < 0 pero obviamente esa es una posibilidad válida al continuar analíticamente, así que lo arreglaré.
@tparker ok, leí tu edición y estoy de acuerdo contigo. La última oración de mis últimos dos párrafos es demasiado fuerte y agregaré un descargo de responsabilidad a mi publicación. Creo que el resto de mi último párrafo concuerda con su pregunta, es decir, uno primero debe comprometerse con una extensión que se aleje de los números enteros en la región convergente, y luego eso corrige el comportamiento en la región divergente, que es lo que realmente buscamos. Voy a pensar en esto un poco más.
¿Cómo puede la regularización dimensional "continuar analíticamente" a partir de un conjunto discreto?
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