Función beta en la teoría λ0ϕ4λ0ϕ4\lambda_0\phi^4

Para un campo escalar real ϕ después de realizar toda la renormalización de 1 bucle para el regulador dimensional d = 4 − ϵ ,   ϵ → 0 + , he encontrado que el acoplamiento renormalizado λ se puede relacionar con el desnudo por

(1) λ ( 1 + 3 ( 4 π ) 2 ϵ λ pag ) = λ 0

Estoy atascado tratando de obtener la función beta de esa ecuación. Llamamos función beta a

β ( λ ) = m ∂ λ ∂ m

Teniendo en cuenta que

λ = λ pag m ϵ , [ λ pag ] = 0 , [ m ] = 1

Mi problema es que cualquier forma que use para obtener β ( λ ) de la ecuación (1) da una dependencia de ϵ , pero en Peskin se usa una forma diferente de resolver esto y la solución es

β ( λ ) = 3 λ 2 ( 4 π ) 2

¿Cómo puedo obtener la función beta a través de Eq. (1)?

Respuestas (1)

La idea es que las cantidades puras no dependan explícitamente de m , por lo que se tiene la ecuación

0 = m d λ 0 d m = ( ∂ ∂ m + β ( λ pag ) ∂ ∂ λ pag ) ( m ϵ λ pag Z λ ) = ϵ m ϵ λ pag Z λ + m ϵ β ( λ pag ) d ( λ pag Z λ ) d λ pag .
Dónde
Z λ = 1 + 3 λ pag ( 4 π ) 2 ϵ .
Esto determina la β funcionan como
β ( λ pag ) = − ϵ λ pag Z λ Z λ + λ pag d Z λ d λ pag .
Obviamente necesitas hacer esto perturbativamente en λ , lo que significa que incluso si λ multiplica un polo en ϵ (que es divergente), sigues ampliándolo en serie como si fuera pequeño. Si Z λ ≡ 1 + λ pag 2 z / ϵ uno tiene
β ( λ pag ) = − ϵ λ pag + z λ pag 2 1 + 2 z λ pag / ϵ = z λ pag 2 + O ( ϵ ) = 3 λ pag 2 ( 4 π ) 2 .
Una verificación de consistencia es que el resultado nunca debe ser divergente como ϵ → 0 , esto se puede probar con las ecuaciones de Callan-Symanzik.

No entiendo por qué se puede expandir en series de Taylor el denominador si esa cantidad incluye una divergencia. Estamos haciendo ( 1 + X ) − 1 = 1 − X pero X diverge mientras ( 1 + X ) − 1 → 0 . ¿Es todo este método solo un truco que sabemos que da el mismo resultado que Callan-Symanzik eqs. o hay algo que nos permita hacerlo? Creo que el matemático no estaría contento con esto. Por supuesto, gracias por tu respuesta y no lo tomes como una queja, solo intento entenderlo. ¡Gracias!
Esto está en el corazón de la teoría de la perturbación. Tienes que pensar el regulador como un número finito a lo largo de todas las manipulaciones, y luego puedes enviarlo al infinito solo en las expresiones finales donde la dependencia del regulador necesariamente desaparece.
Como para λ , en teoría de perturbaciones cualquier cantidad F ( λ ) es pensada como una serie de potencia formal en λ : ∑ k α k λ k , que no tiene por qué converger (normalmente se tienen series asintóticas). Si calcula diagramas hasta ℓ bucles obtendrás una respuesta aproximada F ( ℓ ) ( λ ) que también se puede expresar como una serie de potencia formal ∑ k α k ( ℓ ) λ k . La teoría de la perturbación te dice que α k = α k ( ℓ ) para todos k ≤ ℓ y no te dice nada para los restantes. [continúa...]
Así que cuando tiramos α k ( ℓ ) para k > ℓ simplemente estamos diciendo que esos coeficientes no son útiles para determinar los verdaderos coeficientes en la serie de potencias en este orden particular. No estamos afirmando que sean "pequeños" o "insignificantes". Espero que esto tenga sentido para ti.
Estoy de acuerdo con tu explicación sobre la serie de potencias en λ pero creo que el razonamiento solo es válido si hubiéramos desarrollado el denominador de β ( λ ) sin usar la ya conocida expansión de Taylor ( 1 + X ) r = ∑ norte ( r norte ) X norte que solo es bueno para | X | ≪ 1 , es decir, λ pag / ϵ ≪ 1 . Si lo hubiéramos hecho a partir de la fórmula de la serie de Taylor pura (sin suponer nada sobre X ) Estoy de acuerdo con que la ampliación de los poderes de λ , pero la expansión que usamos en el denominador de β está restringido a | X | ≪ 1
Así que bien, podemos evitar consideraciones sobre ϵ durante nuestro cálculo, pero si hacemos uso de algo como la expansión habitual de ( 1 + X ) r que introducen restricciones a X , indirectamente estamos imponiendo condiciones a ϵ desde ese punto en adelante
No estoy siguiendo exactamente. Pero no deberíamos contaminar este hilo con demasiados comentarios. Sugeriría: ¿tal vez organizar estos pensamientos y escribirlos en otra pregunta? Tal vez alguien más pueda ayudar también :)
Función beta en la teoría λ0ϕ4λ0ϕ4\lambda_0\phi^4
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