ϕ4ϕ4\phi^{4} Propagador - Diagrama de Feynman: vértice interno que regresa a sí mismo

Para definir un$\phi ^4$teoría sin masa, no puede simplemente comenzar desde un lagrangiano

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{g_0}{4!} \phi^4,$$ separar un término cinético $\mathscr L _0= \frac{1}{2}(\partial\phi)^2$y hacer la teoría de la perturbación alrededor $g _0=0$. La razón es que, incluso en el orden más bajo de la teoría de la perturbación, la $\phi^4$término dará lugar a diagramas divergentes como el que acabas de calcular, que son formalmente infinitos. Para tratar tales diagramas, necesita:

1. Para introducir un regulador, como un corte UV$\Lambda$en los propagadores.
2. Imponer algunas (en este caso, tres) condiciones de finitud a las funciones de Green.
3. Para expresar todas las cantidades en términos de los parámetros (finitos) introducidos en el paso 2.

El procedimiento funcionará solo si comienza desde un lagrangiano renormalizable como:

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{m_0^2}{2}\phi^2-\frac{g_0}{4!} \phi^4.$$

El propósito del Paso 1 es dar sentido a cantidades divergentes como$G_0(x-x)$. Una manera simple que funciona para el$\phi^4$La teoría es la regularización de Pauli-Villars:

$$\tilde G_0(p)=\frac{1}{p^2-m_0^2+i\varepsilon}\to \tilde G_0(p)_\Lambda = \frac{1}{p^2-m_0^2+\frac{(p^2)^2}{\Lambda^2}+\frac{(p^2)^3}{\Lambda^4}+i\varepsilon}.$$

En el paso 2 podemos al mismo tiempo hacer la teoría sin masa y eliminar el diagrama divergente que ha calculado. Simplemente requerimos que$^1$:

$$\tilde G(p^2=0)^{-1}=0.$$ Esto asegura que la masa física de las partículas descritas por la teoría es cero, y si calculas el propagador a primer orden en $g_0$, también encontrará que el valor constante del diagrama divergente se cancela exactamente por la masa desnuda $m_0^2$.

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$^1$En realidad, a primer orden en$g_0$, esta condición es suficiente para renormalizar la teoría.

Acabo de intentar calcular este diagrama en el espacio de momento y creo que da una contribución cero en el caso sin masa. Básicamente esto se debe a que dentro del ciclo obtendrás una integral como

$$\int \frac{\mathrm d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{\mathrm i}{k^2 - m^2 + \mathrm i \epsilon} \,,$$ dónde $m = 0$. Un profesor dijo que esta integral dará cero porque para $m = 0$, no hay una escala de masa/energía que esta integral de bucle pueda probar. Recuerdo que la explicación no me satisfizo en su momento, lamentablemente no tengo una mejor en este momento.

Luego también con bucles, no es raro que den infinitos. Esto conducirá a la regularización y eventualmente a la renormalización que se siente como la caja de Pandora. Su integral parece divergir ya que hay ocho potencias de$u$en el numerador (de la medida de integración) pero sólo seis potencias en el denominador (de las funciones de Green). Todavía podría ser infinito. Luego tienes que ir al espacio de momento y usar la regularización dimensional.

Puedo darte una derivación del espacio de momento de este diagrama de renacuajo con regularización dimensional que hice hace un par de años como tarea en la clase de QFT que tomé. Puede descargar el PDF original y revisado para leerlo completo. Este es el extracto:

El resultado final es proporcional a$m$. Configuración$m = 0$hará que esta cosa desaparezca, por lo que el resultado parece ser cero en la teoría sin masa.