Intuición para el parámetro μμ\mu en regularización dimensional

La regularización de dimensiones (dim-reg) no es muy intuitiva. Se podría decir que la EM no es un esquema de renormalización muy físico. Sin embargo, hay varias formas en las que$\mu$está conectado a una escala de energía física real en aplicaciones:

• $\mu$es arbitrario en general, sin embargo, en los cálculos generalmente se obtienen logaritmos de la forma$\log (\frac{\mu}{M})$dónde$M$hay alguna escala de energía en su problema. Podría ser una transferencia de momento, por ejemplo. Si desea que sus correcciones perturbativas sean pequeñas, es mejor que elija$\mu \sim M$de lo contrario, los registros serían grandes y su corrección perturbativa no sería pequeña. Esta es principalmente la razón por la cual$\mu$suele pensarse como una escala de energía en el problema, aunque en principio es arbitrario. Si sigue esta receta para elegir$\mu$, encontrará que es realmente cierto que a una transferencia de momento alto, la dispersión QCD 2->2 se vuelve más débil.

• En problemas con varias escalas interesantes esto lleva a un problema, ya que obtienes varios logaritmos, digamos$\log(\frac{\mu}{m})$y$\log(\frac{\mu}{M})$, con decir$m \ll M$. En este caso no puede elegir un$\mu$tal que todos los logaritmos son pequeños. Para resolver problemas de este tipo con dim-reg, se necesitan técnicas de Teoría de Campos Efectivos. Es decir, primero construye una EFT válida para momentos más pequeños que$M$y hacer coincidir los elementos de la matriz S de momento pequeño entre las teorías. Por definición, digamos$M$es una masa de partículas pesadas. En este caso, haría coincidir los elementos de la matriz S para la partícula ligera entre la teoría completa y el EFT sin campos pesados ​​en alguna escala, digamos$\mu \sim M$, implementando el desacoplamiento de la partícula pesada A MANO. El esquema de MS no satisface el teorema de desacoplamiento, pero puede ponerlo a mano. De manera similar al caso anterior, usted coincide con las teorías en$\mu$de orden$M$para evitar grandes registros en la coincidencia.

En ambos casos, usted pone en la "interpretación" de$\mu$a mano, para hacer su vida más fácil y hacer que la corrección perturbativa sea realmente pequeña. En este sentido$\mu$en las aplicaciones suele estar conectado a alguna escala física, aunque en principio podría ser arbitrario.

Trato de dar una respuesta que tiene una actitud diferente hacia su pregunta. En mi opinión,$\mu$tiene un papel muy importante en la simplificación de los cálculos de amplitud usando el Grupo de Renormalización. Por simplicidad, nos restringimos a la$\lambda \phi^4$teoría.

Imagine que se supone que uno debe calcular una amplitud usando diagramas de Feynmann, obviamente uno debe incluir los bucles hasta la precisión exigida.

Usando el grupo de Renormalización, antes de cualquier cálculo, se puede elegir una escala adecuada acorde con la escala de las variables de Mandelstam (que determinan la escala de dispersión en tres cantidades para diferentes canales, a saber, s, t, u que se escriben en términos de entrada y salida). 4-impulsos)

Esa escala elegida es literalmente$\mu$! Y usando la fórmula de ejecución para los acoplamientos (como$\alpha(\mu)={{\alpha(m)}/1-clog(\mu/m)}$) que hemos derivado usando ecuaciones RG, uno puede encontrar$\alpha(\mu)$donde ahora el acoplamiento se calcula en la nueva escala que es del mismo orden que las variables de Mandelstam.

Usted podría preguntar "¿cuál es el punto de esto?"

El punto: usando el valor de la constante de acoplamiento en la nueva escala, hemos aumentado automáticamente la proporción de los primeros términos en la expansión perturbativa y minimizado la proporción de los términos de orden superior que incluyen muchos bucles y hacen que los cálculos sean muy difíciles. !

En otras palabras, ¡estamos acumulando gran parte de las correcciones de bucle usando un acoplamiento de menor escala, en las contribuciones a nivel de árbol de una expansión perturbativa usando un acoplamiento de mayor escala!

No olvides que el$\mu$-la independencia de amplitudes nos permite hacer este intercambio de "participaciones de diagrama".

Desafortunadamente, en el esquema MS y también en la renormalización On-Shell "acompañada" por la Regularización Dimensional, no se pueden incluir todas las correcciones de bucle a escalas bajas en un solo diagrama de nivel de árbol a una escala más alta, pero de hecho, solo podemos reducir la importancia del correcciones de bucle ejecutando$\alpha(\mu)$hasta escalas$\mu$~$t$(o "$s$" o "$u$").

En el esquema on-Shell, uno puede imaginar que$\alpha=\alpha(s,t,u)$y determinando el valor de$\alpha$en cierta escala, como$(s_0,t_0,u_0)$uno puede encontrar el valor de la constante de acoplamiento en otra escala, como$\alpha(s',t',u')$usando ecuaciones RG (esta vez en un espacio 3D, de 3 variables de Mandelstam en lugar de una variable llamada$\mu$) y luego no hay necesidad de hacer ningún cálculo de bucle en absoluto. En cierto sentido, hemos inventado una teoría de campo efectiva clásica completa en la que ya no hay necesidad de cálculo de bucles.

La complicación surge cuando$s,t,u$son todos de, órdenes diferentes! Entonces, en este caso, se suele introducir una nueva variable como$Q$ese es el promedio geométrico de las variables de Mandelstam:$Q=(stu)^{1/6}$cual es la variable buscada$\mu$en esquema MS.