¿Existe la supersimetría 4D N=3N=3{\cal N} = 3?

Dependiendo de lo que quiera decir con "existir", la respuesta a su pregunta es Sí .

Hay un$N=3$álgebra de supersimetría de Poincaré, y hay realizaciones de la teoría de campos. En particular, hay un cuatridimensional$N=3$teoría de la supergravedad. Una buena referencia moderna para los diversos sabores de las teorías de la supergravedad es la Estructura de las teorías de la supergravedad de Toine Van Proeyen .

Adicional

El argumento de Weinberg es esencialmente la siguiente observación. Tome una representación unitaria sin masa de la$N=3$Superálgebra de Poincaré con helicidad$|\lambda|\leq 1$. Esta representación no es estable bajo CPT, por lo que el teorema de CPT dice que para darse cuenta de que en una teoría cuántica de campos supersimétrica, debe agregar la representación conjugada de CPT. Una vez que haces eso, sin embargo, el$\oplus$la representación admite de hecho una acción del$N=4$Superálgebra de Poincaré.

La razón por la que existe la teoría de la supergravedad (y es diferente de$N=4$supergravedad) es que el$N=3$multiplete de gravedad, que es una helicidad sin masa$|\lambda|=2$representación unitaria, ya es CPT-autoconjugado.

La discusión en las páginas 168-173 en Weinberg vol III busca excluir rígido$N=3$QFT supersimétricas en 4d, al menos aquellas que sean renormalizables y con descripción lagrangiana.

El primer paso es notar que, para identificar el autoconjugado CPT$N=4$supermultiplete con el$N=3$supermultiplet más su conjugado CPT, se debe suponer que todos los campos en ambos supermultiplet se valoran en la representación adjunta del grupo de calibre. En$N=1$lenguaje, los constituyentes básicos en ambos supermultipletes son un calibre y tres supermultipletes quirales, todos con valores adjuntos. Los tres supermultipletes quirales deben transformarse como un triplete bajo el${\mathfrak{su}}(3)$parte de${\mathfrak{u}}(3)$R-simetría de la$N=3$superálgebra.

Cualquier teoría de campo lagrangiana renormalizable en 4d que tenga un$N \geq 2$la supersimetría debe tomar la forma dada por (27.9.33) en Weinberg. Esto solo corresponde al acoplamiento genérico en la carcasa de rígido$N=2$vector e hipermultipletes, con renormalizable$N=2$superpotencial (27.9.29). Para$N>2$, vector e hipermultipletes deben transformarse en la representación adjunta del grupo de indicadores. ($N=2$requiere solo que el hipermultiplete se transforme en una representación real del grupo de calibre, es decir, una representación "no quiral" en$N=1$lenguaje.) Poniendo en esta suposicin, el$N>2$El caso se deduce fácilmente utilizando el análisis de Weinberg a continuación (27.9.34). Todos los términos excepto los de las dos últimas líneas de (27.9.33) se ensamblan precisamente en el$N=4$Yang supersimétrico: lagrangiano de Mills. Los términos restantes en las dos últimas líneas de (27.9.33) dependen de una matriz$\mu$que define el término cuadrático en el superpotencial. Como argumenta Weinberg,$N=4$ocurre sólo si todos estos términos desaparecen de forma idéntica (por ejemplo, si$\mu =0$). De dónde$N=3$puede ocurrir solo si los términos en las dos últimas líneas de (27.9.33) no se anulan y$N=3$supersimétricos por sí solos. Esto requeriría que sean invariantes bajo el${\mathfrak{u}}(3)$R-simetría de la$N=3$superálgebra. Sin embargo, solo dos de los tres supercampos quirales (procedentes del hipermultiplete) aparecen en el$\mu$-términos dependientes. Dado que los tres supermultipletes quirales deben transformarse como un${\mathfrak{su}}(3)$triplete bajo la simetría R, es claramente imposible que las dos últimas líneas en (27.9.33) sean${\mathfrak{u}}(3)$-invariante a menos que desaparezcan idénticamente. De dónde,$N>2$implica$N=4$en este contexto.

El argumento de Weinberg se basa en la existencia de un régimen de acoplamiento débil/lagrangiano. Auténtico$\mathcal{N}=3$Las teorías se encontraron recientemente en este artículo . Como era de esperar, están fuertemente acoplados y se cree que no son lagrangianos.