¿Qué implica la simplecticidad?

Mecánica hamiltoniana estándar en$N$-espacio de fase de partículas$R^{6N}$es inadecuado para describir sistemas mecánicos de interés que no son del$N$forma de partícula, por ejemplo cuerpos rígidos. Sin embargo, todas las técnicas principales de la mecánica clásica no dependen de la estructura específica de$R^{6N}$pero sólo en el hecho de que se puede definir en él un corchete de Poisson.

Así, la mecánica clásica generaliza sin dificultad a la mecánica en variedades de Poisson. Estos son espacios de fase en cuyo álgebra de función suave se puede definir un corchete de Poisson con las propiedades familiares de$N$-espacio de fase de partículas. (Por ejemplo, el espacio de fase de los cuerpos rígidos es la variedad de Lie-Poisson del álgebra de Lie que genera el grupo de movimientos rígidos). Para conocer la mecánica clásica conservadora en términos de variedades de Poisson, consulte el libro
JE Marsden y TS Ratiu, Introducción a la mecánica y simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos, Springer 1999.
\url{http://higherintellect.info/texts/science_and_technology/physics/Introduction to Mechanics and Symmetry.pdf}

Una clase importante de variedades de Poisson son las variedades simplécticas, donde el corchete de Poisson se define a través de una forma simpléctica. (Un ejemplo típico es el espacio cotangente de una variedad de configuración). La importancia de las variedades simplécticas se deriva del hecho de que las variedades de Poisson normalmente se folian en hojas simplécticas, y cualquier dinámica hamiltoniana restringida a tal hoja es simpléctica.

Editar: aunque la mecánica clásica en los libros de texto generalmente se limita al caso conservador, se pueden agregar términos disipativos a una mecánica hamiltoniana. Por ejemplo, la mecánica clásica disipativa para fluidos realistas se analiza en términos de corchetes de Poisson en el libro
AN Beris y BJ Edwards, Thermodynamics of flowing systems with internal microstructure, Nueva York 1994

La mecánica clásica es el estudio de los sistemas de segundo orden. La formulación geométrica obvia es a través de semi-sprays, es decir, campos vectoriales de segundo orden en el paquete tangente. Sin embargo, eso no es particularmente útil ya que no existe una forma natural de derivar un semi-spray de una función (es decir, potencial).

Las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana son dos soluciones a ese problema. Si bien estos formalismos se formulan tradicionalmente en los haces tangente y cotangente (es decir, el espacio de fase de la velocidad y el momento), se generalizaron aún más: la mecánica lagrangiana condujo a la formulación del haz en chorro de la teoría de campo clásica y la mecánica hamiltoniana a la estructura de Poisson.

La estructura simpléctica es una versión simplificada de la estructura del paquete cotangente, la parte que resultó ser necesaria para obtener más resultados, de manera más destacada, probablemente, la reducción del espacio de fase a través de simetrías. No ocupa un lugar destacado en las conferencias de mecánica de pregrado (al menos no a las que asistí) porque cuando se trabaja en coordenadas canónicas, toma una forma simple particular, básicamente el menos en las ecuaciones de Hamilton, donde se usa de manera similar al tensor métrico en relatividad. , es decir, hacer un campo vectorial contravariante a partir de la diferencial covariante de la función de Hamilton.

La geometría simpléctica también juega su papel en la termodinámica: según tengo entendido, la relación de Gibbs-Duhem básicamente nos dice que estamos tratando con una subvariedad lagrangiana de un espacio simpléctico, razón por la cual los potenciales termodinámicos se relacionan mediante transformaciones de Legendre.

La geometría simpléctica puede ser la piedra angular de la geometrización de la física. Además del hecho muy conocido de que la mecánica clásica puede describirse mediante geometría simpléctica, dadas algunas otras estructuras, los espacios simplécticos también pueden cuantificarse para producir mecánica cuántica. Una subclase de geometrías simplécticas, a saber , la geometría de Kaehler, es especialmente importante para los problemas de cuantización.

Muchas teorías físicas como Yang-Mills y la gravedad tienen descripciones en el contexto de la geometría simpléctica, consulte la revisión: LA SIMPLECTIZACIÓN DE LA CIENCIA por Gotay e Isenberg.

Además, muchos tipos de sistemas disipativos pueden tratarse utilizando geometría simpléctica si permitimos hamiltonianos complejos. Consulte el artículo de SG Rajeev .

Finalmente, quiero señalar que en la terminología de geometría simpléctica hay una distinción entre campos vectoriales simplécticos y hamiltonianos, mientras que se requiere un campo vectorial simpléctico para dejar invariable la estructura simpléctica, se requiere un campo vectorial hamiltoniano además de producir una forma exacta sobre la contracción con la forma simpléctica. Por ejemplo, los campos vectoriales a lo largo de los generadores de los dos toros son simplécticos pero no hamiltonianos. Esta distinción existe solo si la variedad simpléctica no es simplemente conexa.

Dada una estructura simpléctica, se producen algunos resultados asombrosos. Esto se ve más obviamente en la Mecánica Clásica como dice el sitio Wiki.

Por ejemplo, al hablar sobre el movimiento de partículas, lo lleva al espacio de fase, que es el paquete cotangente$T\approx\mathbb{R}^6$sobre$\mathbb{R}^3$, y este paquete lleva naturalmente una estructura simpléctica.

Una vez que tenga dicha estructura, entonces (como dice Wiki textualmente):
cualquier función diferenciable de valor real, en una variedad simpléctica puede servir como una función de energía o hamiltoniana.
Ahora puede analizar los flujos de gradiente (como en la dinámica de fluidos) y algunas declaraciones de conservación, como el teorema de Liouville.

Pero sí, lo bueno principal es que ahora puede tener en sus manos una ecuación diferencial que predice el comportamiento futuro de su sistema.

¿Por qué vale la pena mencionar que algo es simpléctico?

Esta pregunta es un poco como preguntar por qué vale la pena mencionar que hay un campo eléctrico en la habitación.

Como característica importante, señalaría que si tienes una estructura simpléctica, tienes un álgebra de Poisson . Eso significa que no sólo las funciones pueden

pero también como

En consecuencia, si agrega una estructura simpléctica en su álgebra de funciones, se producen algunos resultados asombrosos. Tenga en cuenta que la estructura, así como la variedad que considere, pueden ser salvajes , pero el soporte Possion tiene algunas cualidades, que son ciertas en general.