Corchetes de Poisson y coordenadas canónicas para sistema restringido

Question

Corchetes de Poisson y coordenadas canónicas para sistema restringido

Física
corchetes de poisson
sistemas coordinados
dinámica restringida
geometría diferencial
formalismo hamiltoniano

usuario8817

Tengamos algo de hamiltoniano que involucre el conjunto de restricciones de primera clase $\varphi$ y conjunto de restricciones $\kappa$ , que juegan el papel de momentos canónicos conjugados para $\varphi$ ,. Se obedecen las condiciones ( $[A, B]_{P}$ es el corchete de Poisson)

\begin{matrix} (1) & d mi t [φ_{i}, k_{j}]_{PAG} \neq 0, [k_{i}, k_{j}]_{PAG} = 0, [φ_{i}, φ_{j}]_{PAG} = \sum_{k} d_{i j}^{k} φ_{k} \end{matrix}

$\tag 1 det [\varphi_{i}, \kappa_{j}]_{P}\neq 0, \quad [\kappa_{i},\kappa_{j}]_{P} = 0, \quad [\varphi_{i}, \varphi_{j}]_{P} = \sum_{k}d^{k}_{ij}\varphi_{k}$ (en un sentido fuerte). También existe la afirmación de que para alguna función observada

f (q, p)

$f(q, p)$

\begin{matrix} (2) & [F_{a}, φ_{b}] = \sum C_{i}^{a b} φ_{i} . \end{matrix}

$\tag 2 [f_{a}, \varphi_{b} ] = \sum c^{ab}_{i}\varphi_{i}.$ Sin restricciones tenemos

n

$n$ pares de coordenadas canónicas independientes

(q, p)

$(q, p)$ , pero las restricciones lo reducen a

n - k

$n - k$ . Supongamos un corchete canónico de Poisson,

\begin{matrix} (3) & [A, B]_{PAG} = \sum (\frac{\partial A}{\partial q_{i}} \frac{\partial B}{\partial {pag}_{i}} - \frac{\partial B}{\partial q_{i}} \frac{\partial A}{\partial {pag}_{i}}) . \end{matrix}

$\tag 3 [A, B]_{P} = \sum \left(\frac{\partial A}{\partial q_{i}}\frac{\partial B}{\partial p_{i}} - \frac{\partial B}{\partial q_{i}}\frac{\partial A}{\partial p_{i}}\right).$ Hay una afirmación de que si introducimos el nuevo conjunto de coordenadas,

(q, p) \to η = (φ, Q, p_{i}, P)

$(q, p) \to \eta = (\varphi , Q, p_{i}, P)$ , dónde

κ_{j} = P_{j}

$\kappa_{j} = P_{j}$ (aquí

Q, P

$Q, P$ es el conjunto de coordenadas canónicas que salen independientes después de resolver las ecuaciones de restricciones), entonces se tiene la afirmación de que

(3)

$(3)$ puede escribirse como

\begin{matrix} (4) & [A, B]_{PAG} = \sum_{η} [η_{i}, η_{j}]_{PAG} \frac{\partial A}{\partial η_{i}} \frac{\partial B}{\partial η_{j}} = \sum_{q, PAG} (\frac{\partial A}{\partial q_{i}} \frac{\partial B}{\partial {PAG}_{i}} - \frac{\partial A}{\partial {PAG}_{i}} \frac{\partial B}{\partial q_{i}}) . \end{matrix}

$\tag 4 [A, B]_{P} = \sum_{\eta}[\eta_{i}, \eta_{j}]_{P}\frac{\partial A}{\partial \eta_{i}}\frac{\partial B}{\partial \eta_{j}} = \sum_{Q, P}\left( \frac{\partial A}{\partial Q_{i}}\frac{\partial B}{\partial P_{i}} - \frac{\partial A}{\partial P_{i}}\frac{\partial B}{\partial Q_{i}}\right).$ Cómo probar la última identidad en

(4)

$(4)$ mediante el uso

(1), (2)

$(1), (2)$ ?

Respuestas (1)

Corchetes de Poisson y coordenadas canónicas para sistema restringido

qmecanico · Answer 1

Interpretamos la pregunta de OP esencialmente preguntando lo siguiente. (Si esto no es lo que pide OP, esperamos que al menos el método de prueba sea muy similar).

Dado
$\begin{matrix} (1) & det {φ_{i}, k_{j}}_{PAG B} \neq 0, {k_{i}, k_{j}}_{PAG B} = 0, {φ_{i}, φ_{j}}_{PAG B} = \sum_{k} d_{i j}^{k} φ_{k}, \end{matrix}$ $\tag{1} \det \{\varphi_{i}, \kappa_{j}\}_{PB}\neq 0, \quad \{\kappa_{i},\kappa_{j}\}_{PB} ~=~ 0, \quad \{\varphi_{i}, \varphi_{j}\}_{PB} ~=~ \sum_{k}d^{k}_{ij}\varphi_{k},$ en sentido fuerte, donde $d^{k}_{ij}$ son funciones de coeficiente suave, ¿existe un conjunto de restricciones? $\tilde{\varphi}_i$ equivalente al conjunto de restricciones $\varphi_i$ , tal que el conjunto de coordenadas $(\tilde{\varphi}_i,\kappa_{i})$ se puede extender a un conjunto completo de coordenadas locales de Darboux en el espacio de fase?

Sugerencias:

La afirmación solo es cierta en un vecindario local suficientemente pequeño. Además, la afirmación sólo es verdadera si imponemos condiciones de regularidad adecuadas a las restricciones, como, por ejemplo, independencia lineal y requisitos de rango constante, cf. por ejemplo, ref. 1.
Este ejercicio es un caso especial del Ejercicio 1.22 en la Ref. 1. El enunciado puede verse como una generalización del teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie , que a su vez es una generalización del teorema de Darboux .
La técnica de demostración es muy similar a la demostración del teorema de Darboux. El $\kappa_i$ Las coordenadas ya están en forma de Darboux, por lo que solo necesitamos encontrar las otras coordenadas de Darboux. La idea es utilizar el teorema de división de Weinstein para establecer la existencia local de las coordenadas de Darboux paso a paso, ver, por ejemplo, Refs. 3-4.

Referencias:

M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994.
DM Gitman y IV Tyutin, Cuantización de campos con restricciones, 1990.
A. Weinstein, La estructura local de las variedades de Poisson, J. Diff. Geom. 18 (1983) 523 ; Capitulo 2.
Akhil Mathew, Las variedades de Poisson y el teorema de división , entrada de blog de diciembre de 2009.

Corchetes de Poisson y coordenadas canónicas para sistema restringido

usuario8817

Respuestas (1)

qmecanico

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