¿Cuál es la interpretación física del corchete de Poisson [duplicado]

Disculpas si esta es una pregunta realmente básica, pero ¿cuál es la interpretación física del soporte de Poisson en la mecánica clásica? En particular, ¿cómo se debe interpretar la relación entre las coordenadas del espacio de fase canónico,

{ q i , pags j } PAGS B   =   d j i
Entiendo que existe una correspondencia 1 a 1 entre estos y las relaciones de conmutación en la mecánica cuántica en el límite clásico, pero en la mecánica clásica todos los observables, como la posición y el momento, conmutan, por lo que estoy confundido sobre cómo interpretar la relación anterior?

Si entiendo correctamente, el paréntesis fundamental que muestra indica que las variables del espacio de fase son realmente independientes entre sí, y es fácil ver por qué a partir de las matemáticas obtiene el delta. Luego puede usarlos en algún esquema de cuantificación canónica. ¡Tanto la mecánica cuántica como la clásica (teoría KvN) se pueden convertir a una forma de operador y solo permitimos álgebras de conmutación en la mecánica clásica, mientras que la mecánica cuántica también tiene observables que no conmutan! Entiendo el corchete de Poisson para ejemplificar el cambio en alguna cantidad con respecto a las variables del espacio de fase, por ejemplo.
(cont) para alguna función F del espacio de fase, el PB con el hamiltoniano es en realidad la derivada temporal de la función (agregue un ∂ F / ∂ t ). Dado que la evolución del tiempo puede verse como una transformación canónica infinitesimal, vemos una relación entre los generadores de los CT y el efecto sobre la función. Por lo tanto, el corchete de Poisson es más útil en la versión hamiltoniana del teorema de Noether, de modo que si una función es invariante bajo la acción de un generador, su PB con el generador es cero.

Respuestas (1)

En un enfoque bastante general, puede considerar el soporte de Poisson { gramo , F } expresando la tasa de cambio de gramo como consecuencia de un flujo inducido por F . Como menciona AngusTheMan en los comentarios, obtienes la variación de tiempo de gramo si F = H (asumiendo que las cantidades no dependen explícitamente del tiempo). Aquí gramo y F son funciones (suaves) en el espacio de fases, es decir, observables. Cuando gramo = q y F = pags , ya que los momentos son los generadores de traslaciones, el flujo generado por F pueden interpretarse como traducciones, de modo que el paréntesis canónico

{ q , pags } = 1
implica una variación de d q = { q , pags } ϵ = ϵ . Generalizando esto a muchas dimensiones se obtiene
d q i = { q i , pags j } ϵ = d i j ϵ ,
lo que expresa el hecho de que pags j genera las traducciones a lo largo de la j -ésima coordenada (de hecho q i cambios por ϵ > 0 sólo si j = i ).

Entonces, ¿es que el corchete de Poisson no tiene nada que ver con la conmutatividad de las variables conjugadas? Si es así, ¿cómo se obtienen las relaciones de conmutación de estos en QM? Además, ¿el corchete de Poisson es una cantidad derivada o simplemente se define como tal?
La mecánica clásica tiene una estructura conmutativa. En términos de álgebras de operadores, se describe mediante el álgebra de funciones suaves en el espacio de fase, y las funciones de valor real son las observables. El hecho de que las relaciones de Heisenberg estén vinculadas a los corchetes canónicos es solo un procedimiento de cuantificación. Los corchetes de Poisson tienen una definición precisa y los corchetes canónicos se derivan de ella.
Entonces, ¿el punto es que existe una relación entre ellos, pero que el corchete de Poisson no describe si los observables conmutan o no, mientras que la versión "cuantificada" es el conmutador? ¿Conoce alguna nota de clase (u otras fuentes) que proporcione una buena descripción del vínculo entre los dos?
Quizá probaría las Lectures on Quantum Mechanics de Dirac, aunque la descripción es en cierto sentido "avanzada". Sin embargo, creo que da una buena idea de lo que son los PB cuando tienes restricciones y cómo se relacionan con los sistemas cuánticos.
Ok, gracias voy a echar un vistazo. Refiriéndose a su respuesta original, ¿sería correcto decir que (al menos intuitivamente) el soporte de Poisson en CM está relacionado con el conmutador en QM en el sentido de que el PB { q i , pags j } mide la traslación a lo largo q i generado por pags j ...
... y por lo tanto, si medimos el momento de una partícula en QM, no podemos especificar simultáneamente su posición (ya que el momento medido habrá generado un cambio de posición). Del mismo modo, si medimos su posición, ¿no podemos determinar simultáneamente el impulso que generó su traslación a esa posición?
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