Mecánica geométrica - Simplicidad

La principal diferencia entre la mecánica de Hamilton y Lagrange/Newton es que ocurre directamente en el espacio de fase , es decir, cualquier punto en su variedad ya determina completamente el estado de su sistema. Intuitivamente, te das cuenta de esto especificando las coordenadas de posición y momento. En un nivel matemático, el mundo que vemos es una variedad suave (a priori ni siquiera necesariamente Riemann), este es el lugar donde especificas tus coordenadas de posición. Para especificar las coordenadas del momento, debe considerar los puntos del espacio cotangente, por lo tanto, la estructura en la que puede especificar completamente su estado es el paquete cotangente completo de su variedad original.

Sin embargo, el paquete cotangente puede considerarse una variedad por derecho propio (con el doble de la dimensión de la variedad original). Además, puede construir una estructura simpléctica canónica (!) muy fácilmente usando la derivada de la proyección natural. La razón por la que tiene sentido dejar de lado la "variedad original" y operar solo en variedades simplécticas resp. espacios cotangentes, es el Teorema de Darboux , que básicamente dice que toda variedad simpléctica es localmente equivalente al espacio cotangente de alguna variedad. Simplificado polémicamente, se podría decir "El paquete cotangente es la variedad simpléctica".

Ahora echemos un vistazo más de cerca a la estructura simpléctica: localmente, parece

$$\omega=d\vec{q}\wedge d \vec{p}=dq_i\wedge dp^i$$ Usando esto, puede construir una forma de volumen (hasta alguna constante) como $\omega^n$dónde $2n$es la dimensión de su multiplicidad. Especialmente, verá que este volumen está incluso orientado: localmente, puede imaginar una región como una región en el espacio euclidiano. El famoso teorema de Liouville establece que el flujo de fase hamiltoniano (es decir, el grupo uniparamétrico del sistema autónomo correspondiente) deja intacta la estructura simpléctica, por lo que también conserva el volumen. Esta es una consecuencia importante, especialmente en la mecánica estadística. Sin embargo, este no es el punto principal sobre la estructura simpléctica. Lo importante es que la forma simpléctica junto con el hamiltoniano determina la trayectoria: Las trayectorias se definen como curvas integrales del campo vectorial hamiltoniano. $X_H$, que está determinada únicamente por la función de Hamilton y la estructura simpléctica por $$\omega(\cdot,X_H)=dH$$ Hablando vívidamente: si arrojas una partícula sobre una variedad simpléctica, se moverá a lo largo del campo vectorial hamiltoniano.

El punto ahora sobre las transformaciones canónicas es que tiene la forma simpléctica como invariante integral, o, matemáticamente hablando, es un simplectomorfismo especial. Por supuesto, esto da como consecuencia que las ecuaciones locales que gobiernan las trayectorias no se ven afectadas. Por lo tanto, puede pensar en una transformación canónica como una reparametrización de alguna región de la variedad simpléctica, como un cambio de coordenadas cartesianas a esféricas. En este sentido, la principal ventaja sobre Lagrange es que puedes transformar simultáneamente ambos$p$y$q$, lo que por supuesto conduce a ecuaciones mucho más fáciles al final, ya que puede usar transformaciones canónicas para hacer que todas las coordenadas sean cíclicas. Esta es la idea básica de la teoría de Hamilton-Jacobi.