¿Qué grado de libertad de las líneas en el espacio 3D es 4?

En 2D, puede definir una línea por un ángulo$\theta$y una distancia (con signo)$d$. La ecuación de la recta es$x\cos\theta + y\sin\theta = d$. La recta es normal al vector.$(\cos\theta, \sin\theta)$y es a distancia$d$desde el origen Entonces, una línea 2D tiene dos grados de libertad (como se especifica en$\theta$y$d$).

Tenga en cuenta que esta es una línea infinita . Parece que estás pensando en un segmento de línea acotado definido por sus dos puntos finales. De hecho, un segmento de línea acotado en 2D tiene 4 grados de libertad.

Suponga que usa dos puntos para definir una línea 2D infinita. Entonces, estás usando cuatro números, y tal vez esto te haga pensar que la línea tiene 4 grados de libertad. Pero puedes deslizar cada uno de los dos puntos a lo largo de la línea y seguirás obteniendo la misma línea. Los movimientos deslizantes de los dos puntos corresponden a dos grados de libertad que no ayudan en nada a la definición de la línea. Entonces, se desperdician dos grados de libertad, y la línea realmente solo tiene dos grados de libertad, no 4.

En 3D, es cierto que una línea (ilimitada) tiene 4 grados de libertad, pero encontrar una representación de línea que use solo 4 números es bastante complicado. Una solución fácil pero incompleta es usar la intersección de la línea con dos planos, digamos el$xy$avion y el$xz$avión. Eso te da una representación usando 4 números, pero no funciona para todas las líneas.

Nuevamente, un segmento de línea 3D acotado tiene 6 grados de libertad.

Para especificar una línea en$3D$necesitas un vector de dirección y un punto$(a,b,c)$. Se puede suponer que los vectores de dirección son vectores unitarios y, por lo tanto, se pueden especificar mediante dos parámetros (cuando se parametrizan mediante coordenadas esféricas). Punto$(a,b,c)$es cualquier punto de la línea y puede especificarse mediante dos coordenadas en el plano que pasa por el origen y es normal al vector de dirección. Por lo tanto, el número total de parámetros necesarios para determinar de forma única una línea es$4$.

No he visto mencionado que el conjunto de líneas en$\mathbb{R^3}$puede ser parametrizado muy eficientemente por coordenadas de Plücker .

Este sistema de coordenadas redundantes se asocia a una línea:

• un vector director$\vec{V}$y

• el vector "par"$\vec{T}=\vec{OM} \times \vec{V}$dónde$M$es cualquier punto de la recta.

De esta manera, una línea es descrita por$3 + 3$coordenadas, pero esto no significa 6 dof (grados de libertad).

Primero debemos restar un dof porque$\vec{V}$se define hasta una multiplicación por un escalar, y otra porque

De esta manera nos quedamos con 4 dof.

Este conjunto de líneas constituye una variedad grassmanniana (superficie generalizada), más precisamente la Klein Quadric .

Observaciones:

Para aplicaciones de coordenadas de Plücker, consulte esta tesis doctoral .

En este artículo reciente se puede encontrar una aplicación interesante de la cuádrica de Klein .