¿Qué estudiar después de las "Curvas algebraicas y superficies de Riemann" de Miranda?

Estoy supervisando un pequeño grupo de lectura sobre superficies de Riemann. Estamos siguiendo el libro de Rick Miranda "Curvas algebraicas y superficies de Riemann". Probablemente terminaremos a fin de año y nos gustaría continuar con el seminario. ¿Cuál sería la próxima mejor cosa para estudiar?

Los estudiantes son de pregrado, por lo que conocen topología, álgebra, análisis complejo y cálculo multivariable. También estaremos, más o menos, familiarizados con la mayor parte del libro. (Uno de los estudiantes realmente quiere estudiar teoría de haces, así que algo con algo de teoría de haces estaría bien). No saben geometría algebraica (aparte de lo que está en Miranda).

Tengo algunas ideas, por supuesto, en particular el "capítulo sobre superficies algebraicas" de Miles Reid, y "Teoría de Hodge y geometría compleja I" de Claire Voisin. Pero eso podría ser demasiado difícil justo después de Miranda, así que estoy interesado en otras propuestas. Si es posible, evite sugerencias como leer Hartshorne (es mucha maquinaria pesada y, por ejemplo, la mayoría de las aplicaciones del capítulo 4 se pueden obtener mediante métodos elementales sobre C , como en el libro de Miranda.)

¿Puede proporcionar más información sobre lo que significa "mejor" aquí y en qué dirección espera que vaya? Tal como está escrito actualmente, esto me parece bastante abierto.
@KReiser: ¡gracias por su interés! De hecho, la pregunta es un poco abierta. Esperaba sugerencias de referencia de libros 1) accesibles después del libro de Miranda. 2) que utilizan (si es posible) paquetes de líneas/teoría de haces.
¿Tiene sentimientos acerca de en qué parte del espectro, desde la geometría compleja hasta los esquemas, le gustaría estar? A continuación, la teoría de gavillas (en el sentido de una introducción básica, los funtores habituales, etc.) es bastante pedestre, pero la cohomología de gavillas es bastante buena: ¿realmente está buscando solo teoría de gavillas o está dispuesto a virar hacia la cohomología?
@KReiser: ¡El objetivo será sin duda utilizar la cohomología de gavillas! (En realidad, hay algo de cohomología de gavillas en la última parte del libro de Miranda. Planeo probar a Riemann-Roch y Abel-Jacobi mediante la teoría de las gavillas, así que ya sabrán algo). Tienes algo en mente ? Para el espectro: si es posible, algo no aritmético (porque me gustaría evitar el álgebra conmutativa pesada). Me interesaría todo lo relacionado con la teoría de la deformación, la geometría enumerativa, la geometría birracional, la teoría de Hodge, los espacios de módulos, los paquetes vectoriales en curvas, ...
Libro de Huybrechts titulado Geometría compleja Fuente: math.stackexchange.com/questions/3888577/…
Libro de Huybrechts titulado Geometría compleja y "Principios de geometría algebraica" de Griffiths Harris, capítulos 0 y 1 Fuente: math.stackexchange.com/questions/3888577/…

Respuestas (3)

Una dirección interesante (aunque potencialmente bastante difícil) podría ser apegarse a las curvas y profundizar en su geometría. El texto estándar aquí es Geometry of Algebraic Curves, Volumen 1 de Arbarello, Cornalba, Griffiths y Harris, pero, francamente, con los estudiantes universitarios probablemente podría pasar bastante tiempo solo en el primer capítulo sobre Preliminares (esto no es algo malo; hay hay mucha geometría en el capítulo, además de un montón de ejercicios).

Una buena manera de recortar el material del libro sería seguir las notas de alrededor de 2011 cuando Joe Harris impartió un curso sobre el tema. Hay varios conjuntos de notas mecanografiadas que se encuentran fácilmente en Google.

Gracias ! Acabo de leer las notas de Akhil Matthew en la clase de Harris. Esta es una muy buena sugerencia, pero en realidad el libro de Miranda también cubre varios temas avanzados en curvas (introducción a la teoría de Brill-Noether, puntos Flex/Inflection/Weierstrass, ...), por lo que probablemente elegiremos otra cosa.

Miles Reid es una buena idea. También recomiendo la geometría algebraica básica de Shafarevich; tal vez después de haber cubierto a Miranda, es posible que desee elegir los capítulos que lee.

Gracias ! Esta es una sugerencia mejor que la de Hartshorne, pero si elegimos leer un libro de texto sobre geometría algebraica, prefiero elegir el libro de Harris que tiene más ejemplos.

Libro de Huybrechts titulado Geometría compleja y Griffiths Harris 'Principios de geometría algebraica' capítulos 0 y 1

Fuente:

¿Cuáles son algunas alternativas a los capítulos 0 y 1 de "Principios de geometría algebraica" de Griffiths Harris?

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