Duda sobre avance seguido de retroceso de poleas

Su declaración es verdadera en más generalidad de lo que escribe. (Es posible que sea cierto para situaciones más generales que las siguientes, pero no intenté lograr la máxima generalidad).

Dejar$i:Y\to Z$ser una inmersión cerrada y dejar$f:X\to Z$un morfismo arbitrario, con todos$X,Y$y$Z$localmente noetheriano.

Considere el diagrama de cambio de base

(Tenga en cuenta que$i':Y'\to X$es una inmersión cerrada.)

Tenemos dos funtores de$\operatorname{Coh}(Y)$a$\operatorname{Coh}(X)$dado como composiciones

Hay una transformación natural.$f^*i_*\to i'_*f'^*$.

Esto surge al mirar la unidad.$id \to f'_*f'^*$y precomponiendo con$i_*$(y notando$i\circ f'=f\circ i'$) Llegar$i_* \to f_* i'_*f'^*$que por adición da$f^* i_* \to i'_*f'^*$. Para tener una idea de lo que es esto, asuma que todos los esquemas son afines y obtendrá una descripción explícita de este morfismo. En el caso no afín, es la globalización de este morfismo.

Ahora la pregunta es si esta transformación natural canónicamente definida es un isomorfismo natural.

La pregunta es local en$X$por lo que podemos suponer$X=\operatorname{Spec}A$y entonces$Y'=\operatorname{Spec}(A/I)$(ya que es un subesquema cerrado de un esquema afín) donde si$\mathcal{I}_Y$es el ideal de$Y$en$Z$, entonces$I=f'^*\mathcal{I}_Y A$.

Así que deja$\mathcal{F}\in \operatorname{Coh}(Y)$, entonces$i_*\mathcal{F}\in \operatorname{Coh}(Z)$es aniquilado por$\mathcal{I}_Y$y entonces$f^*i_*\mathcal{F}$es aniquilado por$f^*\mathcal{I}_Y A$.

Ahora$f'^*\mathcal{F}$es en$\operatorname{Coh}(\operatorname{Spec}(A/I))$también es aniquilado por$f^*\mathcal{I}_YA$.

En este caso el morfismo natural$f^*i_*\mathcal{F} \to i'_*f'^*\mathcal{F}$corresponde a matar el ideal$f^*\mathcal{I}_YA =I\subset A$(utilice la técnica descrita anteriormente para entender este morfismo de forma explícita).

Pero en este caso este morfismo es siempre una equivalencia debido al siguiente lema (un hecho de álgebra conmutativa expresado algebro-geométricamente).

Lema : dejar$j:\operatorname{Spec}(A/I)\to \operatorname{Spec} A$ser inmersión cerrada de esquemas afines. Entonces$j_*:\operatorname{Coh}(A/I)\to \operatorname{Coh}(A)$identifica$\operatorname{Coh}(A/I)$con la subcategoria$\operatorname{Coh}(A)_I\subset \operatorname{Coh}(A)$compuesto por poleas con apoyo en$V(I)$. La inversa viene dada por la restricción de$j^*:\operatorname{Coh}(A)_I\to \operatorname{Coh}(A/I)$.

Pregunta: "¿Podría alguien amablemente decirme si la afirmación es cierta o no?"

Respuesta: Considere el diagrama

$\require{AMScd} \begin{CD} Spec(A') @>i'>> Spec(A)\\ @Vf'VV @VVfV \\ Spec(k') @>i>> Spec(k) \end{CD}$

con$A':=k'\otimes_k A$y deja$E'$ser cualquiera$k'$-módulo. Sigue

y

Por lo tanto, la afirmación es verdadera cuando los esquemas son afines sin ninguna condición en$i,i'$siendo inmersiones cerradas.

En general (Hartshorne, Prop. III.9.3) prueba que$i$es un morfismo separado de tipo finito de esquemas noetherianos,$E$un módulo casi coherente y$f$un morfismo plano de los esquemas de Noether hay para cualquier$j\geq 0$isomorfismos

La demostración utiliza la cohomología de Cech. Una inmersión cerrada no es plana, pero puede ser que los métodos de prueba se puedan "adaptar" a su situación.

Nota: si desea verificar tales declaraciones generales, primero debe probar el caso afín. Existe el siguiente teorema general:

Teorema: por lo general, una "enunciación completamente general" tiene una prueba elemental.

Para referencia futura, resulta que el resultado se demuestra en un entorno más general (cuando$Y\rightarrow Z$es un morfismo integral ) como el Corolario 5.9.7. en el libro 'Teoría de la cohomología Etale' de Lie Fu.