¿Qué es una órbita no geodésica?

Consideremos una órbita circular en coordenadas de Schwarzschild, tomada en el plano ecuatorial por simplicidad. La posición de la partícula de prueba tiene componentes$x^\mu = (t, r, \pi/2, \phi)$, dónde$t$y$\phi$variar linealmente con el tiempo/tiempo propio y$r$es constante Entonces el$4$-la velocidad es$u^\mu = (\dot{t}, 0, 0, \dot{\phi})$, donde los puntos denotan derivadas con respecto al tiempo propio de la partícula.

La aceleración adecuada tiene componente radial.

$$a^r = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(\frac{M}{r^2} \dot{t}^2 - r \dot{\phi}^2\right),$$ como se le anima a comprobar analizando los coeficientes de conexión, ya sea en la ecuación anterior o en la ecuación geodésica no homogénea (es decir, donde el lado derecho es $a^\mu$en vez de $0$pero donde $\ddot{r} = 0$). Esto es válido para cualquier órbita circular (y ecuatorial), geodésica o no. La órbita será geodésica si y sólo si$a^r$desaparece (podemos ignorar los otros componentes porque ya estamos asumiendo un movimiento circular uniforme). Una órbita no geodésica irá a una velocidad incorrecta para su radio, y esta situación se mantendrá mediante una aceleración externa aplicada. $a^r$.

Ahora veamos las velocidades angulares permitidas. Cualquier partícula masiva debe tener una velocidad (y por lo tanto una velocidad angular) limitada por un fotón que se mueve en la misma dirección espacial (es decir, puramente azimutal). Una órbita circular, ecuatorial, nula obedecerá

$$0 = g_{\mu\nu} u_\mathrm{null}^\mu u_\mathrm{null}^\nu = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \dot{t}_\mathrm{null}^2 + r^2 \dot{\phi}_\mathrm{null}^2,$$ donde aquí los puntos se refieren a derivados con respecto a algún parámetro afín. Esto da el límite de las frecuencias angulares: $$\omega_\mathrm{max}^2 \equiv \left(\frac{\mathrm{d}\phi_\mathrm{null}}{\mathrm{d}t_\mathrm{null}}\right)^2 = \frac{1}{r^2} \left(1 - \frac{2M}{r}\right).$$

Para objetos masivos, frecuencia angular$\omega \equiv \mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t$está delimitado por$0 \leq \omega^2 < \omega_\mathrm{max}^2$. Reescribiendo nuestra fórmula para la aceleración radial, tenemos

$$a^r = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(\frac{M}{r^2} - r\omega^2\right) \dot{t}^2.$$ Teniendo en cuenta la positividad del primer término (ya que estamos fuera del horizonte) y el movimiento de la partícula a través del tiempo, tenemos $$a^r > \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(\frac{M}{r^2} - r\omega_\mathrm{max}^2\right) \dot{t}^2 = \frac{1}{r^2} \left(1 - \frac{2M}{r}\right) (3M - r) \dot{t}^2.$$ Para $2M < r < 3M$, $a^r$debe ser estrictamente positivo para mantener una órbita circular.

Tenga en cuenta que no es la masa central la que proporciona la fuerza repelente . La idea es que dentro$3/2$Schwarzschild radios de un objeto, no hay órbitas circulares geodésicas. Puede moverse en círculos, pero necesita una fuente continua de aceleración hacia afuera para hacerlo. Afuera$r = 3M$, puedes tener órbitas geodésicas ($a^r = 0$), órbitas demasiado lentas ($a^r > 0$), u órbitas demasiado rápidas ($a^r < 0$).