¿Cómo calcular la aceleración de coordenadas en la relatividad general (sin ir al dominio newtoniano)?

La siguiente cita es de Gravitation and Cosmology de Weinberg. No entiendo los cálculos que conducen a la ecuación.$(9.1.2)$. Cualquier ayuda o recurso alternativo será útil.

1 La aproximación posnewtoniana

Considere un sistema de partículas que, como el sol y los planetas, están unidas por su atracción gravitatoria mutua. Dejar$\overline M$,$\overline r$, y$\overline v$ser valores típicos de las masas, separaciones y velocidades de estas partículas. Es un resultado familiar de la mecánica newtoniana que la energía cinética típica$\frac12\overline M\overline v^2$será aproximadamente del mismo orden de magnitud que la energía potencial típica$G\overline M^2/\overline r$, entonces

$$\overline v^2\sim\frac{G\overline M}{\overline r}\tag{9.1.1}$$

(Por ejemplo, una partícula de prueba en una órbita circular de radio$r$sobre una masa central$M$tendrá velocidad$v$dado en la mecánica newtoniana por la fórmula exacta$v^2=GM/r$.) La aproximación posnewtoniana puede describirse como un método para obtener los movimientos del sistema a una potencia mayor de los parámetros pequeños$G\overline M/r$y$\overline v^2$que la dada por la mecánica newtoniana. A veces se le llama expansión en potencias inversas de la velocidad de la luz, pero dado que en nuestras unidades esta velocidad es la unidad, preferimos decir que nuestro parámetro de expansión es$\overline v^2$, o equivalente,$G\overline M/\overline r$.

Hay que empezar preguntando qué necesitamos. Las ecuaciones de movimiento de las partículas son

$$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+{\Gamma^\mu}_{v\lambda}\frac{dx^v}{d\tau}\frac{dx^\lambda}{d\tau}=0$$

A partir de esto podemos calcular las aceleraciones como

$$\begin{aligned}\frac{d^2x^i}{dt^2}&=\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{-1}\frac{d}{d\tau}\left[\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{-1}\frac{dx^i}{d\tau}\right]\\&=\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{-2}\frac{d^2x^i}{d\tau^2}-\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{-3}\frac{d^2t}{d\tau^2}\frac{dx^i}{d\tau}\\&=-{\Gamma^i}_{v\lambda}\frac{dx^v}{dt}\frac{dx^\lambda}{dt}+{\Gamma^0}_{v\lambda}\frac{dx^v}{dt}\frac{dx^\lambda}{dt}\frac{dx^i}{dt}\end{aligned}$$

Esto se puede escribir con más detalle como

$$\begin{aligned}\frac{d^2x^i}{dt^2}=&-{\Gamma^i}_{00}-2{\Gamma^i}_{0j}\frac{dx^j}{dt}-{\Gamma^i}_{jk}\frac{dx^j}{dt}\frac{dx^k}{dt}\\&+\left[{\Gamma^0}_{00}+2{\Gamma^0}_{0j}\frac{dx^j}{dt}+{\Gamma^0}_{jk}\frac{dx^j}{dt}\frac{dx^k}{dt}\right]\frac{dx^i}{dt}\end{aligned}\tag{9.1.2}$$