¿Qué es un operador antiunitario?

¿ Qué es un operador antiunitario ? En la teoría de campos se puede definir un operador de inversión de tiempo T tal que T − 1 ϕ ( X ) T = ϕ ( T X ) . Entonces se prueba que T debe ser antiunitario : T − 1 i T = − i .

¿Cómo se debe entender esta ecuación? Si i es solo el número complejo de la unidad, ¿por qué no tenemos T − 1 i T = i T − 1 T que es solo los tiempos de identidad i ?

T es un mapa antilineal (o conjugado-lineal ), cf. en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map
Uno puede pensar en i como un operador de multiplicación que conmuta con operadores lineales complejos pero conmuta con operadores antilineales complejos. Por eso, T i + i T = 0 . Uno puede pensar en i como una matriz de 2 por 2, si uno quiere ser muy concreto.
¡Oye, los unitarios son geniales! Al menos, todos los demás operadores piensan que sí, por lo que no hablan con T más ;-) Arreglé la pregunta para que leyera "antiunitario".

Respuestas (3)

Como señaló Qmecánico, T es antilineal (esto es parte de la definición de ser antiunitario). Por supuesto, T − 1 debe ser antilineal también porque T es. Así, para cualquier vector en este espacio de Hilbert v , T − 1 ( i v ) = − i T − 1 ( v ) . El i aparece como un − i . Aplicando esto a tu ecuación, fácilmente tenemos que

T − 1 i T = − i T − 1 T = − i .

Desafortunadamente, muchas fuentes se refieren a los operadores antiunitarios simplemente como "operadores" (p. ej., el "operador CPT"), aunque en casi todos los demás contextos "operador" implica linealidad en lugar de antilinealidad.

Si entendí correctamente su malentendido, la respuesta es: el operador no siempre es una matriz. Técnicamente, la acción del operador de inversión de tiempo contiene una conjugación compleja. Por ejemplo, en la base de girar hacia arriba o hacia abajo, se escribe como − i σ y k , dónde k es conjugación compleja.

Creo que esa ha sido la fuente de mi malentendido. He considerado a T como una matriz que conmuta con i . Pero parece que es un tipo de operador más genérico.

Creo que eso está mal (lo de wikipedia)

  1. i ∈ C entonces, ¿cómo puede un operador actuar sobre un escalar?
  2. Incluso si fuera correcto, uno sabe que T = T † = T − 1 = − T ∗ . Así que toma lo que lees

T i T − 1 = − i

y ahora tratar i como un escalar (¡qué es! ¡no un pseudo-!) y resulta

T i ( − T ) ∗ = − T 2 i = − i ⇒ T 2 = 1

eso es lo que sabemos sobre T así que debería estar mal esa cosita de Wikipedia... ;).

La única explicación real podría ser una fase, no que i lo cambia de signo cuando lo lanzaste con T .

¿Qué tiene de malo mi argumento/cálculo?
El argumento está en un nivel más profundo: T no es un operador lineal, por lo que la mayor parte de lo que ha escrito anteriormente no funciona. Debe volver al teorema de Wigner: una simetría puede actuar en su espacio de Hilbert como un operador unitario (el caso normal) o como un operador antiunitario tu tal que ( tu Φ , tu Ψ ) = ( Φ , Ψ ) ∗ (es decir, que voltea el complejo producto interno en su espacio). Si este es el caso, tu es necesariamente antilineal, es decir tu ( a Ψ + b Φ ) = a ∗ tu Ψ + b ∗ tu Φ .
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