Aplicaciones del Teorema Espectral a la Mecánica Cuántica

Es cierto que mucha mecánica cuántica se puede enseñar y comprender sin mucho conocimiento de los fundamentos matemáticos, y por lo general se hace. Dado que QM es una clase obligatoria en muchas facultades a la que también deben asistir los futuros físicos experimentales, esto también tiene sentido. Pero para los futuros físicos teóricos y matemáticos, también puede valer la pena aprender un poco sobre las matemáticas.

Una pequeña anécdota: John von Neumann le dijo una vez a Werner Heisenberg que los matemáticos deberían estar agradecidos por QM, porque condujo a la invención de muchas matemáticas hermosas, pero que los matemáticos compensaron esto aclarando, por ejemplo, la diferencia entre un self-adjoint y un operador simétrico. Heisenberg preguntó: "¿Cuál es la diferencia?"

Suponga que desea calcular exp(A). ¿Por qué no define exp(A):=1+A+1/2 A^2 + ... y requiere convergencia con respecto a la norma del operador?

Eso es correcto. El beneficio del teorema espectral es que puede definir f(A) para cualquier operador autoadjunto (o más generalmente, normal) para cualquier función de Borel acotada. Esto resulta útil en muchas demostraciones de la teoría de operadores.

Además de eso, escuché que el teorema espectral brinda una descripción completa de todos los operadores autoadjuntos. Ahora, ¿por qué es ese el caso? Quiero decir, está bien ... hay una correspondencia uno a uno entre los operadores autoadjuntos y las medidas espectrales ...

Eso es correcto, también. Las medidas espectrales son objetos mucho más simples que los operadores selfaint, por eso. Además, puedes usar el teorema espectral para demostrar que todo operador autoadjunto es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación (multiplica f(x) por x). Desde un punto de vista abstracto, esta es una caracterización muy satisfactoria. Sin embargo, no ayuda mucho para cálculos concretos en QM.

Por cierto: en un nivel más avanzado, deberá comprender el teorema espectral para comprender qué es una brecha de masa en la teoría de Yang-Mills (problema del milenio).

Sugerencia: en QFT en Minkowski-Spacetime, generalmente se asume que hay una representación continua del grupo de Poincaré, especialmente del subgrupo conmutativo de traslaciones, en el espacio de Hilbert que contiene todos los estados físicos. Los operadores que forman la representación tienen una medida espectral común, esta es una aplicación del teorema SNAG. El soporte de esta medida espectral está acotado lejos de cero, esa es la definición de la brecha de masa.

Estimado Constantino, el$A=\int_R \lambda\,dP^A$es solo una versión continua de la descomposición espectral. Aquí$dP^A$es una versión diferencial de los operadores de proyección que definen al operador hermitiano.

Para un espectro discreto, la ecuación correspondiente sería

$$A = \sum_{i} \lambda_i P_{\lambda_{i}}$$ donde la suma va sobre los valores propios $\lambda_i$y $P_{\lambda_i}$son los operadores de proyección en el subespacio del espacio de Hilbert que contiene los vectores propios con el valor propio $\lambda_i$. Por cierto, $\lambda$siempre se supone que es un posible valor propio del operador. Y, de hecho, un operador hermitiano está completamente determinado por su espectro y los vectores propios correspondientes (y multiplicidades) para cada valor propio, razón por la cual la fórmula anterior es una forma equivalente de reescribir un operador hermitiano.

Cuando el espectro de$A$es continua, la sumatoria sobre$i$tiene que ser reemplazada por una integral, y el diferencial correspondiente$d$se añade delante de$dP_{\lambda}$: es realmente el diferencial del operador de proyección en el espacio de autoestados con autovalores en el intervalo$[-\infty, \lambda]$;$dP_\lambda = dP_\lambda / d\lambda \cdot d\lambda$, si lo desea.

Pero en realidad es moralmente lo mismo que en el caso del espectro discreto (que produce funciones delta en$dP_\lambda / d\lambda$si adoptamos esta terminología). Además, algunas de sus pruebas adicionales que involucran$\Delta$son solo sustituciones triviales bajo el signo integral. Uno necesitaría conocer muchos detalles de sus axiomas matemáticos, mucha de la "cultura matemática" particular de la que proviene, para descubrir qué podría ser exactamente difícil para un matemático sobre las sustituciones bajo el signo integral. No hay dificultades desde la perspectiva de un físico: son matemáticas de secundaria.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem#Hermitian_matrices

Los matemáticos pueden preocuparse por la delimitación y la bien definida definición de todas estas cosas durante la mayor parte de sus carreras, pero estas cosas son totalmente vacías desde el punto de vista de la física.

Si un físico descubre que la respuesta a una pregunta de física requiere que calcule$f(A)$, una función de un operador, un observable, solo tiene que calcularlo, ya sea que parezca difícil o bien definido. En particular, siempre se supone que se cumple la expansión de Taylor para funciones como la exponencial.

Usted discute la función$g(A)$del operador como ejemplo. Los procedimientos que describe físicamente significan que uno diagonaliza$A$- lo que lleva a los operadores de proyección a una forma simple (solo un número$1$en la diagonal) - y luego simplemente aplica la función$g$a los valores propios. En otras palabras,

$$A = U D U^{-1} \quad \Rightarrow \quad g(A) = U g(D) U^{-1}$$ dónde $g(D)$es simplemente una matriz diagonal con entradas $g(D_{ii})$en la diagonal La fórmula anterior funciona porque $U^{-1} U$cancelar en todas partes en el medio si escribimos $g(A)$por ejemplo, como una expansión de Taylor, y por generalización, simplemente declaramos que la fórmula anterior es correcta incluso si la expansión de Taylor no es apropiada para un matemático.

La expansión de Taylor para la exponencial siempre está bien desde el punto de vista de un físico.

Todos estos objetos, espacios de Hilbert, operadores, sus funciones (especialmente exponenciales), espectros, valores propios, y todas estas operaciones, exponenciación, búsqueda de operadores de proyección, etc., son importantes en física, de hecho. Y eso es lo que los matemáticos suelen declarar cuando quieren que sus alumnos escuchen. Pero es igualmente cierto que todos los puntos en los que los matemáticos realmente se enfocan la mayor parte de sus vidas carecen por completo de interés desde un punto de vista científico.

Es por eso que los comentarios de que "el material es importante en la física" son moralmente incorrectos.

Los matemáticos no deberían tratar de respaldar el atractivo de sus enseñanzas mediante aplicaciones físicas, especialmente porque su objetivo real (y el objetivo real de las matemáticas puras) es hacerlos lo más independientes posible de las ciencias naturales. Uno no puede tener las dos cosas. Hacer física o ciencia significa que uno puede "probar" todas estas cosas, como$g(A)=g(A)$que es realmente el contenido de la prueba "difícil" que esbozaste), mucho más elegante y posiblemente ingenuo que en matemáticas. Uno solo está preocupado por la falta de rigor si realmente puede encontrar una contradicción con el experimento u otros cálculos. Si no existe, la ciencia está perfectamente bien.

Por otro lado, los matemáticos generalmente buscan problemas incluso si no existen problemas desde el punto de vista de un científico. Esto implica un conjunto de prioridades totalmente diferente y es poco probable que un estudiante esté entusiasmado con ambos. Uno prefiere medir la verdad de acuerdo con la minuciosidad basada en conjuntos predeterminados de axiomas, que es el punto de vista del matemático, o uno está listo para ajustar sus métodos, axiomas y definiciones precisas de objetos (e inventar o aprender totalmente nuevas ramas de la física) según sea necesario para estar de acuerdo con los datos empíricos y otros cálculos precisos, que es el punto de vista del físico.

Son actitudes diferentes y es por eso que creo que tu pregunta debería haber sido publicada en un foro de matemáticas porque en realidad no sigue la forma de pensar de los físicos y no está realmente motivada por el deseo de comprender la Naturaleza.

Sin embargo entonces digo: ¿Por qué haces las cosas tan complicadas? Supongamos que desea calcular$\exp(A)$. ¿Por qué no defines

$$\exp(A)~:=~1+A+1/2 A^2 + \ldots$$ y requieren convergencia con respecto a la norma del operador. Un ejemplo: considere el espacio vectorial generado por los monomios $1,x,x^2,\ldots$y deja $A=d/dx$. Entonces puedes definir perfectamente

$$\exp(d/dx)~:=~1+ d/dx + 1/2 d^2/dx^2 + \ldots$$

y requieren convergencia con respecto a la norma del operador.

La respuesta es simplemente que el procedimiento que sugieres no funciona , a menos que$A$está acotado . Los operadores acotados representan un caso muy particular en QM donde la mayoría de los operadores son ilimitados ya que el rango de valores de los observables que representan es ilimitado. La integración espectral es útil (digo esencial) solo para estos casos más frecuentes en QM.

Además de eso, escuché que el teorema espectral brinda una descripción completa de todos los operadores autoadjuntos. Ahora, ¿por qué es ese el caso? Quiero decir, está bien ... hay una correspondencia uno a uno entre los operadores autoadjuntos y las medidas espectrales ... pero ¿por qué esto me da información sobre "la estructura interna del operador"? (¿Y por qué hay esto$\lambda$en la integral? De alguna manera se parece a un valor propio de$A$? Pero solo estoy suponiendo)

Esta es una pregunta mucho más difícil, muy técnica. Una respuesta corta es que es porque el teorema espectral permite construir como$f(A)$dónde$f$es cualquier función de valor complejo medible. Sin embargo, observe que el teorema espectral es válido, de manera más general, para operadores cerrados normales generalmente ilimitados.

El teorema espectral es realmente importante en el análisis de operadores a un nivel riguroso.

Además de tratar con los operadores ilimitados fundamentales (casi todos los hamiltonianos de relevancia física son ilimitados), también ayuda a responder preguntas relacionadas con el espectro de operadores.

Por ejemplo, es necesario usar el teorema espectral para demostrar que la suma de dos operadores autoadjuntos conmutables ilimitados es autoadjunto, y que existe una medida espectral común con las propiedades correctas (por ejemplo, que si el espectro de los dos es puramente discreta, puede encontrar una base ortonormal de vectores propios de ambos operadores, y esta idea es la base del conjunto completo de observables conmutables).

Otro ejemplo es la investigación del espectro discreto y esencial, que puede definirse rigurosamente solo con la ayuda de medidas espectrales. El espectro discreto está estrechamente relacionado con la existencia de estados ligados (funciones propias exponencialmente decrecientes).

También se usa a menudo en la teoría de perturbaciones y en el estudio de la convergencia de operadores ilimitados. Puede que no tenga muchas aplicaciones explícitas y directas, pero es un componente fundamental de la teoría de los operadores autoadjuntos (realmente normales), especialmente los ilimitados, donde a veces la intuición física, como el uso de series, puede resultar incorrecta (! ) y debe manejarse con sumo cuidado.

Le sugiero que consulte el capítulo VII (teorema espectral) y especialmente el VIII (operadores ilimitados) del primer libro de Reed y Simon "Métodos de la física matemática moderna" para una mayor aclaración. Hay una sección en el capítulo VIII llamada "La manipulación formal es un asunto delicado" que puede ayudarlo a comprender mejor lo que quise decir en el párrafo anterior.