Significado intuitivo de la forma exponencial de un operador unitario en Mecánica Cuántica

No hay escapatoria a la teoría de la mentira si quieres entender lo que está pasando matemáticamente . Intentaré proporcionar algunas imágenes intuitivas de lo que sucede en las notas al pie, aunque no estoy seguro de si será lo que está buscando.

En cualquier espacio vectorial (de dimensión finita, por simplicidad), el grupo de operadores unitarios es el grupo de Lie $\mathrm{U}(N)$, que está conectado. Los grupos de mentiras son múltiples , es decir, cosas que localmente parecen$\mathbb{R}^N$, y como tales poseen espacios tangentes en todos los puntos generados por las derivadas de sus coordenadas o, de manera equivalente, por todas las posibles direcciones de caminos en ese punto. Estas direcciones forman, en$g \in \mathrm{U}(N)$, la$N$-espacio vectorial dimensional$T_g \mathrm{U}(N)$. ¹

Canónicamente, tomamos el espacio tangente en la identidad$\mathbf{1} \in \mathrm{U}(N)$y llámalo el álgebra de la mentira $\mathfrak{g} \cong T_\mathbf{1}\mathrm{U}(N)$. Ahora, de los espacios tangentes, hay algo llamado el mapa exponencial a la variedad misma. Es un hecho que, para grupos compactos, como el grupo unitario, dicha aplicación es sobreyectiva sobre la parte que contiene la identidad. ² Es un hecho adicional que el grupo unitario es conexo , lo que significa que no tiene partes que no estén conectadas a la identidad, por lo que el mapa exponencial$\mathfrak{u}(N) \to \mathrm{U}(N)$es sobreyectiva y, por lo tanto, todo operador unitario es exponencial de algún elemento del álgebra de Lie. ³ (El mapa exponencial siempre es sobreyectivo localmente, por lo que, en principio , también podemos encontrar formas exponenciales para otros operadores)

Entonces, lo anterior (y las notas) responde a sus primeras tres preguntas: siempre podemos representar un operador unitario como ese, ya que$\mathrm{U}(N)$es compacto y conexo, la exponencial de un operador significa "caminar en la dirección especificada por ese operador", y mientras$\mathcal{U}$se encuentra en el grupo de mentira,$\mathcal{T}$yace, como su generador, en el álgebra de Lie. Uno también dice que$\mathcal{T}$es el generador infinitesimal de$\mathcal{U}$, ya que, en$\mathrm{e}^{\alpha \mathcal{T}}$, podemos verlo como dando solo la dirección de la operación, mientras que$\alpha$nos dice qué tan lejos de la identidad estará el exponencial generado.

El significado físico es una cosa difícil de decir en general - a menudo, será que el$\mathcal{T}$es un generador de una simetría, y el operador unitario$\mathcal{U}$es la versión finita de esa simetría, por ejemplo, el hamiltoniano$H$genera la traducción del tiempo$U$, el momento angular$L_i$generar las rotaciones$\mathrm{SO}(3)$, y así sucesivamente, el generador es siempre la versión infinitesimal del operador exponenciado en el sentido de que

$$\mathrm{e}^{\epsilon T} = 1 + \epsilon T + \mathcal{O}(\epsilon^2)$$

por lo que el operador generado, por pequeña$\epsilon$ser desplazado de la identidad por casi exactamente$\epsilon T$.

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¹ Piensa en el círculo (que es$\mathrm{U}(1)$): En cada punto del círculo, puede dibujar la tangente a él, que es$\mathbb{R}$, un espacio vectorial 1D. La longitud del vector tangente especifica "qué tan rápido" se recorrerá el camino en esa dirección.

² Piense en la esfera bidimensional (que, lamentablemente, no es un grupo de Lie, sino un ejemplo del mapa exponencial). Tome el espacio tangente en un punto e imagine que en realidad está sosteniendo una hoja de papel junto a una esfera. Ahora "desmenuza" el papel alrededor de la esfera. Terminarás cubriendo toda la esfera, y si el papel es lo suficientemente grande (tendría que ser infinito para representar el espacio tangente), puedes incluso enrollarlo alrededor de la esfera varias veces, demostrando así que el mapa exponencial no puede ser inyectivo , pero se ve fácilmente que es sobreyectivo. Una noción más precisa de este desmoronamiento sería fijar alguna medida de longitud en la esfera y mapear cada vector en el álgebra a un punto en la esfera caminando en la dirección indicada por el vector exactamente hasta donde su longitud te lo indique.

³ Esto es bastante fácil de entender: si hubiera una parte del grupo completamente desconectada de nuestro grupo, o si nuestro grupo tuviera un volumen infinito (si no fuera compacto ), no podríamos esperar cubrirlo por completo con una sola hoja. de papel, no importa cuán grande sea.

Bueno, la mecánica cuántica es famosa por no ser intuitiva para los terrícolas como nosotros, pero los siguientes hechos podrían ayudar:

1. Los observables en mecánica cuántica son operadores hermitianos/autoadjuntos.

2. el espectro ${\rm Spec}(\hat{A}) \subseteq \mathbb{R}$de un operador hermitiano/autoadjunto$\hat{A}$pertenece al eje real$\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

3. El espectro${\rm Spec}(\hat{U}) \subseteq \{z\in \mathbb{C} \mid |z|=1\}$de un operador unitario pertenece al círculo unitario.

4. La función$z\mapsto e^{iz}$asigna el eje real al círculo unitario.

5. El teorema de Stone establece en términos generales una correspondencia$\hat{U} = e^{i\hat{A}}$entre operadores unitarios y autoadjuntos.

Aquí hay un suplemento a la excelente respuesta de ACuriousMind, que:

• Profundiza más en el significado de "caminar en la dirección especificada por [un] operador".
• Conecta esto con la operación más familiar de exponenciar un número complejo.
• Da otra opinión sobre el significado físico de la exponenciación.

¡Lo siento, es tan largo! Si no tiene ganas de leer todo, puede pasar a la última sección, que no depende demasiado de las anteriores.

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Comencemos mirando el grupo Lie$U(1)$, el grupo de rotaciones del plano complejo. Geométricamente,$U(1)$parece un círculo. De hecho, es natural identificar$U(1)$con el círculo unitario en$\mathbb{C}$, porque si$a$es un número complejo con$|a| = 1$, la transformación "multiplicar por$a$" es una rotación sobre el origen, la rotación que envía$1$a$a$. La identidad$\mathbf{1} \in U(1)$corresponde al punto$1$en el círculo unitario, porque "multiplicar por$1$" es la rotación por cero radianes.

Como dijo ACuriousMind, el álgebra de Lie de un grupo de Lie se puede definir como el espacio tangente en la identidad: el espacio de las posibles velocidades de los caminos a través de la identidad. si piensas en$U(1)$como el círculo unitario en$\mathbb{C}$, puedes ver este espacio tangente muy explícitamente: es la línea tangente al círculo unitario en$1$, que se puede identificar naturalmente con la "línea imaginaria"$i\mathbb{R}$.

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Ahora, aquí hay un hecho interesante sobre los grupos de Lie: si elige una velocidad en el elemento de identidad, ¡naturalmente se extiende a un campo de velocidad definido en todas partes del grupo! Así es cómo.

Si estás caminando junto a un grupo de mentiras$G$, y te sientes solo, puedes imaginar que tienes un gemelo caminando por un camino que es como el tuyo, pero "traducido" por un elemento$g$de$G$: cuando estas en$h$, tu gemelo está en$gh$. Cada vez que caminas a través de la identidad, tu gemelo camina a través$g$, por lo que su velocidad en la identidad corresponde a una velocidad gemela en$g$. La conexión entre tu movimiento y el movimiento de tu gemelo da una correspondencia entre los espacios tangentes$T_{\mathbf{1}}G$y$T_gG$.

Si todavía te sientes solo, puedes imaginar que tienes un gemelo para cada elemento de$G$, todos caminando contigo al unísono. Cuando estás en la identidad, tu$g$gemelo está en$g$, su$g'$gemelo está en$g'$, y así sucesivamente, tienes un gemelo en cada punto de$G$. Por lo tanto, su velocidad en la identidad corresponde a una velocidad en cada punto en$G$. A través de tus gemelos, tu velocidad en la identidad se extiende a un campo de velocidad definido en todas partes del grupo.

Un campo de velocidad que proviene de un grupo de personas que caminan al unísono como este se llama campo vectorial invariante a la izquierda . Usando este vocabulario, podemos reafirmar el hecho genial de antes diciendo que...

En un grupo de Lie, elegir una velocidad en la identidad es lo mismo que elegir un campo vectorial invariante a la izquierda.

Para un ejemplo concreto, veamos cómo una velocidad en la identidad de$U(1)$se extiende a un campo de velocidad definido en todas partes en$U(1)$:

Como era de esperar, los campos vectoriales invariantes a la izquierda en$U(1)$son precisamente los campos vectoriales con simetría de rotación en el círculo unitario.

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Ahora, digamos que tienes un elemento$v$del álgebra de mentira$\mathfrak{u}(1)$, que acabamos de ver es lo mismo que tener un campo vectorial invariante a la izquierda en$U(1)$. Si estás parado en la identidad en$U(1)$, y estás aburrido, puedes entretenerte tratando de caminar para que tu velocidad siempre coincida con el campo de velocidad$v$. Resulta que siempre hay exactamente una forma de hacer esto, así que si lo haces por tiempo$t$, siempre terminarás en el mismo lugar. Este elemento del grupo se llama$\exp_t v$. Tu puedes pensar en$\exp_t$como una función que convierte elementos de álgebra de Lie en elementos de grupo de Lie; se llama exponencial del grupo de Lie . Escribiendo un elemento$a$de$U(1)$en forma exponencial significa encontrar un campo vectorial invariante a la izquierda$v \in \mathfrak{u}(1)$que te llevará a$a$en una unidad de tiempo, entonces$a = \exp_1 v$.

si piensas en$U(1)$como el círculo unitario en$\mathbb{C}$, hay una forma muy concreta de calcular$\exp_t v$. Vimos antes que$\mathfrak{u}(1)$puede identificarse naturalmente con$i\mathbb{R}$, por lo que podemos pensar en$v$como un número imaginario. Puede convertir este número en un campo de velocidad definido en todo el plano complejo diciéndole a la gente en$z \in \mathbb{C}$moverse con velocidad$vz$:

Si eres un científico de pantalones elegantes, "decirle a la gente en$z$moverse con velocidad$vz$" suena demasiado poco digno, así que escribes esta oración como la ecuación diferencial

$$\frac{dz}{dt} = vz.$$

En esta ecuación,$v$es un número imaginario constante, y$z$es un número complejo dependiente del tiempo. Si sabes un poco de cálculo, puedes comprobar que$z(t) = e^{vt}$satisface la ecuación, con$z(0) = 1$. Por lo tanto, si comienzas en la identidad de$U(1)$y sigue el campo de velocidad$v$para el tiempo$t$, terminarás en$e^{vt}$. Eso significa

$$\exp_t v = e^{vt}.$$ Hemos descubierto que, si miras las cosas de la manera correcta, la exponencial del grupo de Lie para $U(1)$coincide con el conocido exponencial de los números complejos!

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Como dice tu libro de texto, cada operador unitario tiene una forma exponencial: en otras palabras, cualquier elemento$g$del grupo mentira$U(n)$Se puede escribir como$\exp_1 v$para algún campo vectorial invariante a la izquierda$v \in \mathfrak{u}(n)$. ¿Cuál es el significado físico de esto?

En la mecánica cuántica, los operadores unitarios representan simetrías, por lo que una consecuencia física del hecho anterior es que...

En mecánica cuántica, cualquier simetría puede hacerse continua.

Una vez que expresas una simetría como exponencial$\exp_1 v$, ves que viene incrustado en toda una familia de simetrías$\exp_t v$. Cuando$t = 1$, recuperas tu simetría original, cuando$t = 0$, obtienes la identidad, y cuando$t \in (0, 1)$obtienes algo intermedio.

He aquí un ejemplo de este hecho en acción. Uno de los tipos de simetría más comunes en la física, tan común que a menudo ni siquiera pensamos en ella como una simetría, es la evolución del tiempo. Digamos que tiene un sistema físico que evoluciona en pasos de tiempo discretos. La simetría que te hace avanzar un paso en el tiempo estará representada por un operador unitario$U$. Si tú escribes$U$en forma exponencial como$\exp_1 v$, puede hacer que la evolución temporal sea continua declarando que$\exp_t v$te mueve hacia adelante$t$unidades de tiempo, para cualquier número real$t$.

Por supuesto, hay una trampa: generalmente hay muchas formas diferentes de escribir un operador unitario dado en forma exponencial. Por ejemplo, el operador$\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$en$U(1)$se puede expresar como$\exp_1 i\frac{\pi}{3}$, pero también se puede expresar como$\exp_1 i\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi\right)$. Por lo tanto, si desea convertir una simetría discreta en una continua, generalmente no existe una única "manera correcta" de hacerlo.

Mientras estaba escribiendo, se publicaron dos buenas respuestas. Como no quiero borrar todo, dejaré esto aquí.

Sin apelar a la teoría de Lie, uno podría argumentar por razonamiento físico.

Los operadores unitarios que su libro tiene en mente dependen de un parámetro continuo$\alpha$. Describen transformaciones continuas del estado mecánico cuántico.$\psi$bajo consideración, por ejemplo, una traslación en el espacio, rotaciones, evolución temporal,..., por citar las más destacadas. Uno podría esperar razonablemente que

• como$\alpha\rightarrow 0$,$U(\alpha)$se convierte en la identidad, no hace nada.
• $U(\alpha_1+\alpha_2) = U(\alpha_1)U(\alpha_2)$No debería importar si traduces por$\alpha_1+\alpha_2$o primero por$\alpha_2$, después$\alpha_1$.

Puede pensar en qué sucede si divide el trafo en pequeños pasos. Decir$\tfrac{\alpha}{N}$para algún entero grande$N$. A primer orden en$\alpha$,$U(\alpha)$debería comportarse como

$$U(\frac{\alpha}{N}) \approx 1+\frac{\alpha}{N} X$$ con algún operador $X$. Uno hace uso del hecho de que $$U(\alpha) = U\big(\frac{\alpha}{N}\big)^N$$ para obtener $$U(\alpha) = \left(1+ \frac{\alpha}{N}X\right)^N = \exp(\alpha X)$$ Este enfoque deja intuitivamente claro que el operador $X$en el exponente juega el papel de un generador de transformaciones infinitesimales.

Esto es relativamente manual y para una comprensión completa no se puede evitar la Teoría de la Mentira. Vea la respuesta de @ACuriousMind, aunque puede resultarle un poco pesado si no tiene la formación matemática (?).