Espacio de Hilbert Rigged en Mecánica Cuántica y Noción Generalizada de Secuencia

He estado leyendo Arno Bohm e Israel Gel'Fand, en Rigged Hilbert Space ( Φ ⊂ H ⊂ Φ ′ ), que es un intento de poner la notación Bra-Ket de la Mecánica Cuántica, de Dirac, sobre una base matemática rigurosa. Esto hace un uso intensivo de espacios topológicos lineales, que a su vez hace un uso intensivo de la noción de secuencias y su convergencia.

Según A. Bohm ("The Rigged Hilbert Space and Quantum Mechanics", 1978, P. 31) " Φ ′ es un espacio en el que la topología no puede ser completamente descrita por la descripción del pasaje al límite de secuencias contables ( Φ ′ no satisface el primer axioma de contabilidad y es, por lo tanto, un espacio topológico más general...)"

Mi experiencia con las secuencias en la literatura es que siempre asumen un índice entero, es decir, la secuencia ϕ norte tiene n siendo entero. Por ejemplo, tenemos { ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ,...,} donde el valor de ϕ norte , para cualquier entero norte , puede ser un número entero, real, complejo, etc. De hecho, Wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence ) define una secuencia como "una función cuyo dominio es un subconjunto convexo del conjunto de números enteros ".

Mi pregunta es si alguna rama del análisis define secuencias. ϕ X dónde X es real y no se limita a números enteros? Estaba pensando que tal generalización de la noción de secuencia podría ser útil para definir una topología útil para Φ ′ .

Mis disculpas si esto pertenece más a math.stackexchange, pero mi motivación para la pregunta se basó en leer física.

Respuestas (2)

Hay dos nociones (casi) equivalentes de sucesiones generalizadas que son útiles para estudiar la topología de espacios no contables: redes y filtros .

Las redes son una generalización más inmediata de secuencias, ya que utilizan un conjunto dirigido en lugar de números naturales para parametrizar la secuencia. Un conjunto dirigido es un conjunto parcialmente ordenado tal que todo subconjunto finito tiene un límite superior. Dado un conjunto dirigido A , una red ( X α ) α ∈ A es una función de A a algún conjunto X . La mayoría de los resultados usuales que involucran secuencias pueden extenderse a redes. Una diferencia importante es el concepto de subred. Hay que tener cuidado con las subredes: por ejemplo, una secuencia es una red ( norte es un conjunto dirigido), ¡pero sus subredes pueden no ser secuencias! De hecho, el único requisito para ( y β ) β ∈ B ser una subred de ( X α ) α ∈ A es que existe una función con imagen cofinal y conservando el orden F : B → A tal que y β = X h ( β ) . De hecho, hay espacios topológicos donde los argumentos de compacidad requieren la extracción de una subred incluso de una secuencia dada.

Los filtros son un concepto teórico de conjuntos más fundamental, e históricamente se usan más al menos en la escuela francesa de topología general (ver, por ejemplo, los libros de Bourbaki). No los discutiré en detalle aquí ya que la pregunta era explícitamente sobre secuencias generalizadas.

Finalmente, permítanme señalar que los espacios vectoriales topológicos son espacios uniformes y, como tales, el concepto más importante que se debe comprender para comprender su topología son los entornos y las bases de vecindad. Una buena referencia que también explica claramente la importancia de las topologías duales y tal es el libro Topological Vector Spaces de Bourbaki.

@David, amplié un poco mi respuesta y agregué una referencia quizás interesante.
@ Yuggib Me pregunto si las redes de cauchy serían útiles en Rigged Hilbert Spaces (también conocido como Gel'Fand Triple), especialmente con respecto a la Φ ′ (de Φ ⊂ H ⊂ Φ ′ ) que es el conjugado del espacio de funciones de Schwartz y no satisface el primer axioma de contabilidad. Nunca he visto redes de Cauchy, o redes en general, aplicadas a Rigged Hilbert Spaces.
@David, depende de lo que quieras hacer... Φ ′ puede estar dotado de muchas topologías (ultradébil, débil, etc.). El punto es si necesita o no las propiedades topológicas del dual. Por lo general, en las distribuciones uno no mira los aspectos topológicos.
Según Gel'Fand, "Funciones Generalizadas", V2, P 57 (parafraseando): Una secuencia en Φ ′ converge si todos los elementos de la sucesión están en uno de los Φ pag ′ , y convergen en la norma de Φ pag ′ , dónde Φ 0 ′ ⊂ Φ 1 ′ . . . ⊂ Φ pag . . . ⊂ Φ ′ . Parece restrictivo hablar solo de convergencia de sucesiones donde todos los elementos de la sucesión convergente tienen que estar en el mismo subespacio. Quizás si hablamos de redes, en lugar de secuencias, todos los elementos de la red no tienen por qué estar en el mismo Φ pag ′ y todavía puede converger?
Qué es Φ pag ′ ? De todos modos, parece que solo está discutiendo lo suficiente para tener convergencia. En cualquier caso, puede ocurrir que una secuencia no converja pero sí una subred. El punto es que necesitas redes principalmente para estudiar conjuntos compactos y similares. Lo importante siempre es qué topología está considerando y la convergencia de lo que necesita probar.

De lo contrario, una secuencia puede considerarse una función. F : norte → S tal que a norte = F ( norte ) .

Si, en cambio, desea indexar sobre los reales, tiene F : R → S tal que a X = F ( X ) .

¿Se parece a algo de la topología con la que ya sabe cómo trabajar?

¡Gracias! Estoy leyendo la serie de Gel'Fand sobre funciones generalizadas y habla sobre Rigged Hilbert Space y las complejidades de definir una topología para el conjugado del Schwartz Space (" Φ ′ ") porque no satisface el primer axioma de contabilidad. Me preguntaba si indexar los reales al definir secuencias y su convergencia podría ser un enfoque más natural para definir una topología para Φ ′
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